巴比伦的方程
第 1 章 巴比伦的方程
代数的故事该从哪里讲起？教科书通常从古希腊讲起，或者从九世纪的花拉子米讲起，我认为都不对。真正值得站上第一幕的，是一块巴掌大的泥板，编号YBC 6967，如今安静地躺在耶鲁大学的巴比伦文献收藏室里。它来自美索不达米亚，年代大约在公元前1800年到前1600年之间，属于古巴比伦王朝时期。这块泥板上写着一道题，翻译过来是：一个数与它的倒数，相差7，求这两个数。用今天的记号写，就是联立x减y等于7，x乘y等于1。消去y，得到一个一元二次方程。四千年前没有x，没有等号，没有任何符号，但泥板上接下来刻的每一步操作，与我们今天套求根公式的运算一模一样。读到这里你大概会和我第一次读到时一样，后颈起一层凉意：我们中学课堂上讲的二次方程解法，年龄比《论语》还老一千多年。这本书要讲的全部故事，从方程到群，从根式到结构，源头就在这把晒干的黏土上，它值得我们在开场多花一点笔墨，把它的世界看仔细些。
泥板重见天日
这块泥板能被读懂，要归功于二十世纪最了不起的科学史工作之一。奥地利人奥托·诺伊格鲍尔，1899年生，原本是哥廷根的数学家，跟着希尔伯特和库朗做过三角级数与量子力学的数学基础，三十岁上下忽然转行，去释读楔形文字数学泥板。转行的直接原因说来有趣：他要为出版社编写一部数学史，写到古代部分时发现巴比伦的材料无人真正整理过，索性自己动手。他从欧洲各大博物馆收罗泥板照片与摹本，一个符号一个符号地啃，1935年到1937年间在斯普林格出版了三大卷《楔形文字数学文本》，收录并解读了数百块数学泥板，让一个湮没近四千年的数学传统重见天日。与他并肩的是法国亚述学家蒂罗-当金，1938年在巴黎出版了《巴比伦数学文本》。1945年，已经流亡美国的诺伊格鲍尔与同事萨克斯合作出版了《数学楔形文字文本》，YBC 6967正是在这本书里得到完整释读。诺伊格鲍尔晚年回忆，解读过程中他逐渐意识到，巴比伦书吏不是在零敲碎打地猜答案，而是掌握着一整套程序化的算法，一套用言语表述的代数。这个判断在当时是大胆的，因为整个十九世纪乃至二十世纪初的人都相信，严格数学始于希腊，巴比伦只有工匠式的算账术。泥板本身推翻了这种傲慢。
顺带交代一下埃及，免得读者心里挂念。莱因德纸草书抄写于约公元前1650年，书吏阿摩斯自称抄自更早的文献，上面有八十五道题，大都是线性方程与算术，用的方法是单假设法乃至双假设法，先把一个猜的数代进去，看差多少再按比例修正。埃及人做到这一步就停了，二次方程在尼罗河边基本缺席。两河流域的书吏却深入得多。这也提醒我们，古代文明的数学水平差别可以很大，谁先谁后不能靠文明的名气排座次。希腊人的文献浩如烟海，所以他们的数学被记得最全；巴比伦人把数学写进易碎的泥板，反倒侥幸躲过了纸草的腐烂，只是要在地下多等三千多年。
诺伊格鲍尔这个人还值得多写几行，因为他的遭遇本身就是二十世纪学术史的一面镜子。1933年纳粹上台，哥廷根开始清洗犹太学者，诺伊格鲍尔不是犹太人，却在数学研究所的秘书处公开帮助被解雇的同事整理救济材料，很快自己也成了不受欢迎的人，先被停职，1934年干脆辞职去了哥本哈根，1939年又移居美国，在布朗大学建立起楔形文字数学的研究重镇。他后来常说，自己一生最得意的不是任何一部著作，而是当年在秘书处做的那些杂事。一个读得懂四千年前泥板的人，对自己时代的善恶反而看得极其清楚，这一点常让我觉得，释读古代文本这门行当，练的不只是眼力。他的《数学楔形文字文本》1945年出版时，巴比伦数学的轮廓已经完整：一批基础表册，一批习题泥板，一批展示高超技巧的杰作。我们要讲的代数故事，就从这份清单里最核心的两件讲起。
YBC 6967：四千年前的一道方程
现在把YBC 6967的解法完整过一遍。书吏写道：取7的一半，得3;30。3;30乘以3;30，得12;15。12;15加上1，得13;15。问，什么数自乘得13;15？得3;45。3;45加上3;30，得7;15，这是一个数；3;45减去3;30，得0;15，这是另一个数。检验，7;15减去0;15，恰是7。这串分号加逗号的记法是现代学者的转写，分号前是整数，逗号隔开六十进制的各位。换成我们熟悉的十进制，书吏算的是：半差3.5，平方12.25，加乘积1，得13.25，开方约3.6404，两个数分别是7.1404与0.1404，乘积果然是1，差果然是7。把这一串操作翻译成符号，正好是先算二分之差处的判别式，再开平方，再加减取根的标准流程。这里有个细节值得放大了看：书吏开方13;15时直接写出3;45，其实3;45的平方是13;15,3,45，比13;15略大，他取的是近似值，但毫不在意，因为最后的检验环节会兜底。巴比伦数学从不为精度焦虑，表格给到哪一位，就算到哪一位，够用即止。这种工程师式的松弛感，与后来希腊人非要为每一步找出逻辑担保的紧张，构成全书反复出现的两极。书吏没有解释为什么这么做，泥板是习题解答而不是理论专著，但操作的普遍性说明，他背后立着一整套方法。
这道题的来路也值得多说两句。igi与igi-bi是苏美尔语的术语，意思是数与其倒数。巴比伦人做除法不列竖式，靠乘倒数，而求倒数又靠查表，各种倒数表泥板成百上千地出土，三分之二是0;40，八分之一是0;7,30，倒背如流。所以这道题在当年大约相当于今天的金融应用题，出自实实在在的计算需求。顺带说，正因为算法与需求咬合得紧，古巴比伦的代数题材极其务实：田地分粮、挖渠筑堤、兄弟分遗产、借贷算利息。方程是从账本里长出来的，不是从哲学里长出来的，这一点它和希腊数学的出身截然不同，两种出身各自带来的性格，后面十几章里我们会反复看到。
BM 13901：配方法的四千年版
如果说YBC 6967只是一道孤立的难题，还不足以撑起巴比伦代数的大厦，那么大英博物馆的BM 13901就是整栋建筑的承重墙。这块泥板同样来自古巴比伦时期，上面刻着二十多道题，几乎每一道都归结为二次方程，难度递进，像一本编排过的习题册。第一题是这样的：我把正方形的面积与它的边相加，得0;45，求边。用今天的写法，即x的平方加x等于四分之三。书吏的解法逐句译出来是：系数是1，取其半，得0;30。0;30乘0;30，得0;15。0;15加上0;45，得1。问什么数自乘得1？是1。从1中减去你刚才乘过的0;30，得0;30。正方形的边就是0;30。验算，0;30自乘得0;15，加上边0;30，合计0;45，分毫不差。
任何一位中学教师看到这段四千年前的板书都会会心一笑，这不就是配方法么。把x平方加x配成x加二分之一的完全平方，减掉四分之一，挪过去开方，再减二分之一，得根二分之一。书吏的操作与配方法逐步对应，连先取系数一半这个细节都分毫不差。更了不起的是，巴比伦人清楚地知道二次方程可以有两个根。有一类题目给出的条件使得两个正根都合法，书吏会不慌不忙地把两个都列出来。比如某块泥板上的题目归结为x平方加21等于10x，书吏给出边是3，又补一句说边也可以是7，两解并列，毫无心理负担。请记住这个从容，三千年后的欧洲人在负根和虚根问题上唉声叹气的样子，对比之下实在是历史的幽默。
BM 13901往后翻，题型渐次铺开，像一部精心编排的教材。第二题还是平方加边，第三题换作平方加边的三分之二，第五题起出现两个正方形：我把两个正方形的面积相加，得28;15，一个的边是另一个边的七分之六少一，请两边。这已经是不折不扣的联立二次方程组，归结为标准型后依旧取半自乘开方。再往后有平方差加边的和差混合，有把大方剖出小方的面积题，一路做到第九题前后，两个平方、两个边、乘积项悉数登场。同样的题型在别的泥板上还会换上挖渠、分银、称铜的外衣反复出现，数目变了，话术不变。学过中学代数的人一眼就能认出，这就是换元与化归为标准型的教学策略，巴比伦人玩得比我们想象的熟练得多。
必须说明，巴比伦人没有抽象系数的框架，没有字母，没有负数，一切用具体数字表述，题目、解法、检验水乳交融。他们处理的是标准化的题型：已知平方与边的和，已知平方与边之差，已知两边之积与两边之和差，两数平方和加差，等等，每一类题型配一套固定话术，取半、自乘、相加、开方、相减，话术本身就是公式。诺伊格鲍尔把这种风气称为算法式的代数，我认为还可以再加一个定语，职业化的代数。这些解法不是某位天才的灵光一现，而是书吏行业的标准作业程序，一代一代抄写、背诵、考核。正因为它职业化，才传播得稳，保存得久；也正因为它职业化，才会在古巴比伦王朝衰亡之后，随书吏传统一起沉入地下，等十九世纪的考古学家把铲子下到两河流域。程序在，理由不在，这个缺陷要等到希腊人来补，也要等到十九世纪的人来嘲笑。
题型的动物园：从联立方程到类三次
古巴比伦习题泥板的题材之宽，远超一般人的想象。除了单变量的标准二次型，还有成套的联立问题。有一类是这样的：已知两数之和与两数之积，求两数。书吏的话术是取和之半，自乘，减去积，开方，加减得两数，这恰恰就是今天所谓韦达定理的逆用，九次多项式的根系互求在此预演了三千年。还有一类反过来，已知差与积、已知和与平方差，各有各的固定程序。最让我个人觉得妙趣的，是那些表面读起来像工程预算的题目：我挖了一条渠，长宽高各有比例，土方量已知，求尺寸。若长取x，宽与高各按比例折算，乘起来便是x的三次方等于给定体积，一类不折不扣的三次方程。巴比伦人手里有立方表和立方根表，遇到这类题，先把比例系数除干净，把问题化成纯粹的求立方根，查表了事。换言之，他们靠着表格与化归，绕开了三次方程的通解问题。这个绕行的姿态意味深长：当一类问题没有通用程序时，文明选择了把它压缩成查表。三千年后意大利人强攻三次方程，用的却是同样两板斧，化归与查表，只是表格换成了三角函数表，历史有时候绕的圈子大得让人头晕。
也有一批泥板露出纯趣味数学的苗头，与实用全然无关。有的题目字面是兄弟分银，骨子里是等差数列求和；有的把十个兄弟按某种规则排队，问各得几何；有的干脆是谜语式的巧题，答案藏在数表的规律里。诺伊格鲍尔把这批文本统称为代数杂题，认为它们出自书吏中好逞才智的一派。这说明什么？说明巴比伦人不仅把数学当工具，也把数学当游戏。数谜在泥板上有一批固定粉丝，流传的形式包括补全缺损数表的挑战，据说那是当年书吏之间斗智的项目，谁先补全，谁就在同行面前有面子。一种文明一旦开始为难题而难题，代数的种子就算真正发芽了，因为它追求的不再是答案本身，而是解法带来的快感，而这正是后来希腊人把几何变成事业、文艺复兴的意大利人把方程变成决斗武器的同一种心理动力。从账房到谜题，从谜题到荣誉，从荣誉到理论，这条路要走三千年，但起点已经在这批泥板里看得见。
剪贴拼合的艺术：几何还是代数
巴比伦人脑子里想的到底是数还是形？这个问题争论了大半个世纪。丹麦科学史家许拉普2002年出版了一部厚重的专著，《长、宽、面：古巴比伦代数及其同类的肖像》，给出了目前最有说服力的答案。他逐字分析泥板上的苏美尔语和阿卡德语术语，发现书吏嘴里的取一半，往往不是抽象数字的一半，而是把一条线段从中间折断；自乘不是数字平方，而是以这段线为边作一个正方形；把两项相加，则是把两块面积拼接起来。整个解法在书吏心中是一幅动态的图：把边长作出的窄矩形剖成两半，各贴到正方形的两侧，缺角处再补一个小正方形，大正方形一刀切出，开方即得边。这套手法学术上称为剪贴式几何代数，与幼儿园里剪剪贴贴的手工活惊人地相似，只是每一步都守着严格的度量对应。
我特意强调这一点，是因为它牵涉一个流传很广的误解：几何代数是希腊人的专利，巴比伦人只会数字把戏。实际情况可能正相反。希腊人的几何代数，也就是欧几里得《原本》第二卷里那些把代数恒等式画成图形的命题，很可能是希腊人接触到巴比伦方法之后，用他们偏爱的严格几何语言重新包装的产物。公元前334年亚历山大东征之后，希腊学者大批进入美索不达米亚，巴比伦的天文表算传统与希腊学术确实有过深度的接触，塞琉古时期巴比伦的基丁努天文计算家与希腊数学家同城共事。包装本身是伟大的，希腊人给剪贴术配了逻辑证明，这是巴比伦人没做也不打算做的事。但论血统，配方法的源头在幼发拉底河畔，不在雅典。数学史家图默二十世纪七十年代就撰文提出，巴比伦代数是希腊几何代数的源头之一，许拉普的工作把这条线索做实了。我愿意把话说得再直白些：人类第一次解出二次方程，靠的不是天赋灵感，而是把图形剪来贴去的手艺。数学在最开始的时候，是一门手上功夫，这句话可以作为全书的题记之一。
细看一块具体泥板，剪贴的过程更直观。有道题归结为x平方加四分之三x等于八分之五，书吏的图是这样的：先作一个边为x的正方形，再贴上宽四分之三、长x的窄条，把这窄条从中间剖成两段，各宽八分之三，一段贴在正方形右边，一段贴在下边，于是缺一个角，补上边长八分之三的小方块，整体合成一个大正方形，边长是x加八分之三。大方面积等于原面积加小方块，一切就绪，开方，减去八分之三，边就出来了。请注意，这套叙述里没有一个抽象的平方，全是看得见摸得着的切块与搬运，配方法在它诞生的一刻是木工活。后来的数学越走越抽象，把图省掉了，把话术压成了公式，但骨架从没变过。今天你在草稿纸上对x平方加bx配方时，你的每一个动作都有一位四千年前的同行先做过一遍，只是他用的是湿泥板和削尖的芦苇笔，而你用的是圆珠笔，工具换了，手指的记忆是同一份。
普林顿322：勾股数的千年领先
普林顿322，哥伦比亚大学普林顿收藏的第322号藏品，是数学史界知名度最高的泥板，没有之一。它的来历带点传奇色彩：1922年前后，纽约出版商乔治·普林顿从文物商人埃德加·班克斯手里买下它，价格据说是十美元。班克斯是位名声复杂的美国考古商人，当过领事，倒卖过大量泥板，经手的东西真伪掺半，普林顿322经鉴定确属真品，古巴比伦时期，约公元前1800年。普林顿业余以收藏科学史文献为乐，死后收藏整体捐给了哥伦比亚大学。1945年诺伊格鲍尔和萨克斯在《数学楔形文字文本》里公布了对它的数学释读，世界这才知道，早在毕达哥拉斯出生前一千多年，有人已经系统制造勾股数了。毕达哥拉斯生于约公元前570年，这块泥板比他早了一千二三百年。
泥板本身残缺，左端断掉一截，现存的表面上有四列数字、十五行。最右一列是从1到15的行号，中间两列是直角三角形三边中的两条，最左一列是与斜边、直角边之比相关的数值。逐行检验，每一行都对应一组勾股数。比如第一行给出119与169，配上算出的另一条直角边120，即得三边119、120、169，满足两直角边的平方和等于斜边的平方。第十五行是45、60、75，正是3、4、5的放大。十五行数字从大到小排列，斜边与直角边的比值从约1.98递减到约1.386，相应的夹角从接近45度滑向31度左右。有人据此宣称这是史上第一张三角函数表，2017年还有两位学者在新南威尔士大学的工作基础上郑重其事地论证，说它是古巴比伦的精确三角学，比希腊三角学早一千五百年，新闻一时热闹得很。
我更愿意采信另一种解读。它出自科学史家埃莉诺·罗比森2001年发表在《数学史》上的论文，标题起得妙极了，叫作既非福尔摩斯亦非巴比伦。她把泥板放回书吏学校的语境，用当时的行话重新分析了每一列的表头，结论是：这很可能是一位教师编制的素材表，用来给学生出涉及勾股数的题目，生成手段是巴比伦人最顺手的正则倒数对配方，与巴比伦的平方差恒等式一脉相承。她有一句广被引用的判词，大意是：普林顿322的编制者不是原始的数论学家，也不是原始的三角学家，而是一位勤奋的教师。这篇文章后来拿了美国数学协会的年度写作奖。两种解释你选哪一种？我的立场是，罗比森的方法论是对的：解释古代文本，先要问它在自己的时代是谁的、干什么用的，而不是急着替古人申请现代学科的发明专利。即便只是教师用表，它的分量也不轻，因为编制它的人必须掌握勾股数组的一般构造法，通吃正则倒数对，而这在数学上绝非显然。神秘感少了一点，敬意不该少。
这里需要补一句诺伊格鲍尔当年是怎么读这块泥板的，因为两种读法的对垒本身很有看头。他1945年的解读是数论式的：取两个正则六十进制整数，一奇一偶，按巴比伦人熟知的参数公式生成勾股数，普林顿322的十五行正是十五组参数的产物，编制者甚至特意避开了会溢出表格的巨大数值。2017年的三角学翻案文章则由曼斯菲尔德和怀尔德伯格执笔，发表在《数学史》上，他们主张最左列是斜边与直角边之比的平方，相当于一张以精确比值取代逼近角度的正割表，并宣称古巴比伦人因此拥有一种比希腊更合理的精确三角学。论文的新闻稿铺天盖地，学界同行却大多摇头。为什么？因为一块表要成为三角学，得有证据表明它被用来解三角形，而泥板上没有一个角度符号，没有任何使用痕迹。我的判断很简单：说它是表可以，说它是学问，还差一口气。科学史的第一戒律，是别把古人当成穿着长袍的自己。
六十进制：被低估的基础设施
巴比伦代数能跑起来，靠一套常被低估的基础设施：六十进位值制记数法。逢六十进一，同样的楔形符号组按位置区分大小，与十进位值制同理。这套系统最大的红利在分数：三分之一写作0;20，四分之一写作0;15，除法等价于乘倒数，配合倒数表，四则运算畅通无阻。位值制是人类记数法最关键的一次观念革命，巴比伦人比印度人早实践了一千多年。缺点是长期没有零符号，空位靠留白，抄错或磨蚀就易误读，这个毛病到较晚的塞琉古时期才用双楔符号部分补上。我们今天钟表上的时分秒、一小时的六十分、圆周的360度，都是这套古老系统的活化石，你每天看表，都在摸一件四千年前的文物。
有一块泥板可以把他们的计算水平钉得死死的。YBC 7289，一枚巴掌大的圆饼，上面画了一个正方形和两条对角线，对角线上刻着三行数：边长0;30，对角线长1;24,51,10，以及一个近似面积。把1;24,51,10换成小数，是1.41421296，而根号2的真值是1.41421356，误差在小数点后第六位。也就是说，公元前1800年前后，有人把根号2算到了百万分之一的精度。他们怎么开平方，泥板上没有说，学者推测是配合开方表与某种逐次逼近的迭代程序完成的。想想这件事的分量：希腊人为根号2不是整数之比而惊恐，甚至传说希帕索斯因此丧命，而一千年前两河流域的计算员早把这个不存在的比值算到了六位小数，并且若无其事地拿它当对角线的长度用。一个当工具用，一个当悖论想，两种态度预告了此后两千年数学的两种命运，重视算法的传统埋头推进，重视证明的传统追问根基，最好当然是要两者都要，可惜人类常常只能一次要一样。
支撑这一切的是一整套表册体系。出土的表泥板种类繁多：倒数表覆盖从2到3,24的全部正则数，也就是那些只含2、3、5因子的数；乘法表从1乘到20，再专列平方表与立方表；度量衡换算表把斤两尺寸在几种进位之间来回折算。一个熟练书吏的案头，大约相当于摆着一部活的对数手册。现代研究者做过估算，古巴比伦书吏要出师，需要背熟的表与题型，总量不亚于今天一个会计专业的学生。这套体系还顺手解决了一个现代人意想不到的问题：六十进制里除法就是查倒数，所以分数运算几乎与整数一样方便，方程解出0;15或者0;20这样的答案毫无障碍。相比之下，埃及的单位分数体系做乘除都别扭，莱因德纸草书里把九成以上的分数拆成二分之一、三分之一这样的和，算个七分之二都要绞尽脑汁。基础设施的高下，直接决定了数学能走多远，这是本章我最想留给读者的一个观点。
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