柏拉图问题

第一章 柏拉图的问题

库朗讲座上的一份演讲稿

一九五九年五月，纽约大学库朗数学科学研究所照例请一位大人物来做年度讲座。那年请来的是一位说话带着浓重匈牙利口音的老先生，尤金·维格纳，普林斯顿大学教授，原子核物理与群论应用的权威，四年后会因对称性原理方面的工作拿诺贝尔物理学奖。这场讲座的讲稿次年整理成文，发表在《纯粹与应用数学通讯》一九六零年第十三卷第一期，题目译成中文是《数学在自然科学中不合理的有效性》。刊物不算顶级，篇幅十四页，全文几乎没有公式，没有脚注如林的书目，读起来更像一篇绵长的哲学随笔。谁也没有料到，这篇看似边缘的文章会成为二十世纪科学文献里被引用最多的文本之一，会被数学家、物理学家和哲学家反复咀嚼、反驳、致敬，直到今天仍被一代代研究生翻出来精读，围绕着它开的专题会议一场接一场，六十年不衰。

维格纳不是职业哲学家，这恰恰是这篇文章的力量所在。他一九零二年十一月十七日生于布达佩斯，父亲是皮革厂厂长，家里本想让他继承家业。他在布达佩斯技术大学读书时赶上匈牙利苏维埃共和国那段动荡岁月，随后去了柏林，先在威廉皇帝物理化学研究所做晶体学，再转物理。一九二六年他去哥廷恩，给希尔伯特当助手，虽然老先生年事已高已很少露面，但那个环境里的空气本身就是教材：希尔伯特、库朗、外尔正在把数学和物理拧成一股绳，量子力学正隔着篱笆在隔壁的海森堡和玻恩手里成形。维格纳后来移居美国，威斯康星，普林斯顿，曼哈顿计划，然后把群论这门前一世纪还被多数物理学家视为空洞抽象的学问，硬生生锻造成原子光谱和原子核物理的标准工具。他还是狄拉克的连襟，一九三七年狄拉克娶了他妹妹玛吉特。这样一个人站出来说数学和物理的关系是个无解之谜，分量与职业哲学家的纸上谈兵完全不同。他不是在书斋里发现了悖论，他是在一辈子的车间劳动里被这个悖论追着跑。

文章结尾那句话，值得复述大意：数学语言适于表述物理定律，这件事近乎奇迹，是一件美妙的天赋馈赠，我们既不理解它，也不配享有它。请注意"不配"这个词。一个刚刚用群论驯服了原子核的人，说自己不配享有数学的馈赠，这不是英式轻描淡写式的客套，而是一种真实的惊愕。维格纳的意思是，数学在物理学里屡屡命中，其精准与深刻远远超出了任何合理预期，超出了历史巧合、心理适应、人为选择这些便宜解释所能覆盖的范围。这份惊愕不是他一个人的。读过手稿的朋友劝他别发表，说这种哲学感慨不是一个严肃科学家该碰的东西。他发了，然后看着它长成一片森林。本书要讲的，就是这片森林底下那条根。

学园门口的铭文

把时钟往回拨两千三百年。公元前三八七年前后，柏拉图在雅典城西北郊一片以英雄阿卡德摩斯命名的树林和体育馆旁，建起他的学园。后世流传，学园门口刻着一行字：不懂数学者不得入内。考据起来，这行铭文的最早出处其实相当晚，是六世纪时新柏拉图主义者在注释亚里士多德逻辑著作时记下的一笔，离柏拉图的时代隔了将近千年，多半是后人贴金。但两千年来没有人舍得把它拆掉，因为它太准确地抓住了柏拉图主义的要害：要谈论真实的宇宙，得先掌握数学这门入场券。铭文可能是假的，立场是真的。学园确实产出了一代数学家，欧多克索斯在这儿研究过比例和不可公度量，泰阿泰德在这儿研究过多面体，柏拉图本人在对话录里反复把几何训练当作哲人的必修课。

柏拉图在晚年的《蒂迈欧篇》里给了一个粗糙却惊人的方案。四种元素对应四种正多面体：火是四面体，因为四个面最尖利，最像燃烧的刺痛;土是立方体，因为最稳当，码得最严实;气是八面体;水是二十面体，最接近球形，所以会流动。至于第五种正多面体十二面体，柏拉图说神用它来刺绣整个宇宙的图形。这套学说以今天的标准看近乎炼金术，元素会互相转化，因为它们能拆成同一种三角形再重组，物理化学被彻底几何化了。但请盯住它的结构：世界由数学对象构成，物质性质的差异被归结为几何形状的差异。当时正多面体只发现了四种，泰阿泰德后来证明了凸正多面体有且只有五种，这个证明被欧几里得收进《原本》第十三卷作为全书压轴，五种立体逐个建好、逐个数清顶点棱面，然后全书戛然而止。元素论后来被化学烧成了灰，"存在恰好五种正多面体"却是对到宇宙终结的真命题。二者的命运分岔，本身就是柏拉图问题的第一块化石。

这条路没有断。一五九六年，二十五岁的开普勒出版《宇宙的神秘》，用五种正多面体内接外切的方式，给出六颗行星轨道半径的比例，误差在他看来可以接受，整个太阳系被压进一个柏拉图立体的俄罗斯套娃。这个模型后来当然被抛弃了，开普勒自己也承认它只是青春的狂热，但请记住这个动作的形状：先信数学，再用数学逼问世界。一六一一年开普勒写小册子论雪花为什么六角，用的还是同一套直觉。柏拉图主义作为学说屡战屡败，作为方法论屡败屡战，而且越战越准。到一九八二年，化学家谢克特曼在铝锰合金里发现十重对称的准晶，那种长程有序又不周期排布的结构，恰好能用彭罗斯的非周期拼图和高等维格点的投影来描写，五重对称这个被晶体学禁了两百年的对称性翻身。自然真的在用柏拉图式的几何造物，只是比《蒂迈欧篇》想象的更狡猾。

伽利略的大书

一六二三年，伽利略出版《试金者》，本意是卷入一场关于彗星本质的笔战，结果在这部论战小册子里写出了科学史上被引用最多的段落之一。他说，自然这本大书永远摊开在我们眼前，但要读懂它，必须先学会它的语言，认得它的字符。这门语言是数学，这些字符是三角形、圆和其他几何图形。没有它们，人就在黑暗的迷宫里徒劳打转。这段话常被当成文采，其实它是方法宣言，是把柏拉图的问题变成物理学的操作规程。

伽利略是第一个系统地把物理问题翻译成数学方程、再用实验来检验的人。他一六零四年研究落体，起初猜速度与距离成正比，很快发现这在数学上导致悖论，改猜速度与时间成正比，积分一下就得到距离与时间平方成正比。一六零四年十月十六日他给朋友萨皮的密信里已经开始谈论这条平方律。真正的硬仗是斜面：把磨光的黄铜槽垫出缓角，让铜球滚下，用水钟计时，那是一个底部开孔的大水桶，称量接出来的水的重量来标记时间。他手稿第一零七页正面那串著名的数字，距离一百、三百、五百、七百单位，对应的时间完全一致，四分之三的滚动时间差内走过等距递增的位移。匀加速的定律就这样被量出来、被写下来。一六三八年，双目已盲、终身软禁的他在荷兰出版《关于两门新科学的对话与数学证明》，书的副标题里明明白白写着"两门新科学……用数学论证"，纯数学演绎与实验测量咬合成一台机器，近代物理学的生产线就此点火。

从伽利略往后，物理学不再满足于亚里士多德式的"为什么"，转而死磕"是多少"。维格纳在他那篇文章里，把这件事拆成两个奇迹。第一个奇迹是，自然界居然有规律可循。宇宙完全可以是一片无法无天的混沌，没有任何逻辑力量强制它可理解，这点康德谈过，怀特海也谈过，但它至今是个没有解释的事实。第二个奇迹是，人类这颗在草原上为躲避猛兽而演化的大脑，居然有能力发现这些规律。而维格纳真正想追问的是第三个更怪的：这些规律被写下时用的那门语言，数学，为什么偏偏就现成地躺在那里等着。圆周率出现在气体分子速率分布里，复数出现在电子波函数里，这些概念诞生时与物理毫不相干，几百年后被物理原样提走，仿佛仓库里早就备好了货。库房管理员是谁，发货单在哪里，没人见过。

两种实在

要掂量这个谜，得先直面一个尴尬的分裂：我们似乎活在两种实在里。一种是物理实在，桌子、星系、电子、场，裁判是实验。另一种是数学实在，素数无穷、五维以上球面上存在怪异的微分结构、费马大定理，这些命题的真假不依赖任何实验，却同样铁板钉钉，没有商量余地。数学家发现定理的经验，与探险家发现新大陆惊人地相似，他们总说自己是"看到"了证明，而不是"决定"了证明。哈代一九四零年的《一个数学家的辩白》把这种体验写得毫无遮拦：他认为数学的实在感在他之外，就像恒星在人类之外一样。哥德尔的说法更狠，他说我们不承认抽象对象的存在，就没法理解数学，而一旦承认，就得承认它们按自己的方式活着。物理学家的日常里，这种两栖生活其实天天上演：先在物理世界里搭仪器，再一头扎进数学世界住几个月，出来时手里攥着一张预言。

两种实在的边界上，十九世纪末还爆发过一场著名的遭遇战。一八七四年，二十九岁的康托尔证明实数与自然数不能一一对应，无穷有了大小之分，随后他建起超穷数的整套算术，宣称这是对"实无穷"的合法占领。柏林的克罗内克视之为对数学的叛乱，他有一句流传至今的话，上帝造了整数，其余都是人的作品，言下之意，超出有限构造的一切都是雾。他用期刊的权力压制康托尔发表，师徒辈的攻讦持续多年，康托尔后期在精神病院进进出出，虽然今天的历史研究更多把病因归给他的抑郁而非论战，但那个时代数学界的剑拔弩张是真的。争执的实质，正是数学实在的户口：无穷的层级是被发现的高原，还是被发明的空中楼阁。到一九零零年巴黎的国际数学家大会，希尔伯特列出二十三个问题，第一个就是连续统假设，并且喊出那句没人能拒绝的口号：没有人能把我们从康托尔创造的天堂里驱逐出去。天堂的隐喻来自柏拉图，绕了一整圈，问题回到了原点。

数学实在的户籍问题，二十世纪初打过三场大仗。逻辑主义从弗雷格一八七九年的《概念文字》和一八八四年的《算术基础》起步，想把整个数学还原成纯逻辑，给无穷无尽的对象一个干净的出身。弗雷格埋头干了二十多年，眼看《算术基本法则》第二卷即将付印，一九零二年六月收到罗素一封信，信里那个由所有不包含自身的集合组成的集合，一句话烧掉了二十年的地基。弗雷格在给罗素的回信里承认，大厦根基动摇对他来说是晴天霹雳。罗素自己接着上，与怀特海合著《数学原理》，一九一零年到一九一三年出了三大卷，为了推出算术的基本事实，几百页符号推演后才小心翼翼地证明一加一等于二，还加注说这个证明完成了，命题有时是有用的。形式主义由希尔伯特扛旗，主张数学是符号的游戏，只要能证明游戏规则自洽，永远不会推出矛盾，数学就安如泰山，无穷只是理想元素，像几何里的无穷远点。直觉主义由布劳威尔领衔，他一九零七年的博士论文和一九零八年那篇论逻辑原理不可靠的文章立场极为激进：数学是心智在直觉中的构造，构造不出来的就不存在，实无穷是幻觉，排中律不是普遍真理，于是经典分析的大半要推倒重建。希尔伯特对此的回应近乎宣战，他说禁止数学家使用排中律，好比禁止拳击手使用拳头。

三场大战打到一九三一年，胜负以一种没人料到的方式揭晓。九月，年仅二十五岁的哥德尔在《数学与物理学月刊》第三十八卷发表《论数学原理及有关系统中的形式不可判定命题》，证明任何包含初等算术的自洽形式系统，都存在真而不可证的命题，并且系统的自洽性本身就无法在系统内部证明。希尔伯特的梦想被这两记重锤送进了重症监护室，布劳威尔也没赢，因为他要的直觉构造同样逃不出可数性的牢笼。真正耐人寻味的是哥德尔本人的哲学。他是二十世纪最坚定的柏拉图主义者，一九四四年在论罗素的文章里、一九四七年在吉布斯演讲里反复申明，集合与概念作为客观对象独立存在，数学知觉像感官知觉一样虽然模糊却指向实在;不完备定理在他看来不是数学不可靠的证据，恰恰是数学实在丰富到任何形式系统都装不下的证据。那个不可证的命题硬邦邦地真着，只是机器够不着它。你要是觉得这套说法像神秘主义，不妨想想彭罗斯二零零四年在《通往实在之路》末章画的图：物理世界、心智世界、数学世界，三个圆圈，三条箭头转成一个圈，物理世界孕育心智，心智领悟数学，数学包裹物理。这个圈不解释任何东西，但它把问题的拓扑画了出来：哪里都进得去，哪里都出不来。

数学总是先到现场

谜题最锋利的一面现在可以亮出来了。维格纳式的惊奇，重点不在数学有用，而在数学屡屡先于物理到达现场，货早就在库里备好了。这样的案例在科学史上密得吓人，我挑四个最有分量的摆开。

头一个是几何。一八五四年六月十日，二十八岁的黎曼在哥廷根做那场著名的讲师资格演讲，《论作为几何学基础的假设》。按规定他上报了三个题目，前两个是关于电学和函数论的，第三个几何基础本是凑数的陪衬，高斯偏偏挑了它，后世猜想老人早有自己的心思。黎曼只用几个星期备课，演讲里他一口气引入了流形、度规、曲率的概念，说空间的几何不必是欧几里得的，物理空间可能是一个弯曲的三维流形，度规要用实验去定，甚至空间的离散性和物理定律的关联都碰了一下。高斯听完骑马回家，路上向同行表示罕见的赞赏。演讲当时未发表，黎曼一八六六年七月死于结核，年仅三十九岁，遗稿由戴德金在一八六八年整理刊出。又过了近五十年，爱因斯坦为给引力找数学骨架发愁，大学同学格罗斯曼告诉他，工具早就造好了，就是里奇和列维-齐维塔刚发展出来的绝对微分学，地基正是黎曼的图纸。一九一五年十一月，场方程落地，弯曲时空成了物理空间的法律。数学领先物理六十一年，而且黎曼当年留下的一句随笔，物理连续统可能是离散的，至今还悬在量子引力的门口。

第二个是群。一八三二年五月二十九日夜里，二十岁的伽罗瓦在决斗前奋笔疾书，把连夜整理的手稿和三封信托付给朋友舍瓦利耶，次日清晨中弹，两天后死去。他留下的群论思想经刘维尔一八四六年整理发表、若尔当一八七零年《置换与代数方程专论》系统化，成为纯得不能再纯的数学，此后半个世纪，它几乎只和代数方程的可解性厮混。二十世纪初物理学家开始接触它时怨声载道，泡利给这群数学起了个绰号叫"群的瘟疫"，嫌它形式空洞。可是一九二五年之后，海森堡和狄拉克发现描述电子自旋和全同粒子要靠交换和旋转的群，外尔一九二八年出版《群论与量子力学》，维格纳一九三一年出版《群论及其在原子光谱的量子力学中的应用》，群论一夜之间成了量子力学的官话。一九三七年维格纳用时空对称性推出空间反射与时间反演的约束，一九六一年盖尔曼用三乘三的特殊么正群给强子分类，造出"八重法"这个词，一九六四年顺着这套语法写下夸克。今天标准模型的铭牌 SU(3) 乘 SU(2) 乘 U(1)，整行都是群论写成的，而第一块砖是一八三二年那个决死者砌下的。

第三个是复数。一五四五年卡尔达诺在《大术》里为解三次方程，第一次硬着头皮对负数开方，把这种量叫作"精致而无用";一五七二年邦贝利在《代数学》里给这套运算立了规矩，虚数从此有了户口但仍被当私生子。三百年后复数被柯西和黎曼抬举成解析函数论的主角，成了分析学最肥沃的土壤。一九二六年薛定谔构造波动方程，起先还想把波函数写成实数，怎么都不对，干涉项出不来，最终不得不让波函数整个是复的。他在那年给洛伦兹的信里承认，复数的介入是个绕不开的麻烦。今天我们知道，量子态的相位是复数的辐角，干涉、规范场、贝里相位、量子计算的门，全都长在这片复数土壤上。费曼在《物理学讲义》里干脆说，量子力学最深刻的一处怪异，就是它从根上离不开 i。这个数虚了三百年，最后成了实在最硬的骨架之一。

第四个稍微冷门，却最能说明问题。一八四三年十月十六日傍晚，都柏林的哈密顿带着妻子沿皇家运河散步，布鲁姆桥上灵光一闪，他掏出小刀把四元数的乘法公式刻在桥栏上。为了推广复数他苦想了十几年，那天突然明白，要走出平面就得放弃乘法交换律，三个虚单位平方皆负、两两反对易。四元数此后红过一阵又衰落，被物理学家冷落为十九世纪的古董。可是到了二十世纪，三维矢量的点乘叉乘、转动的组合、自旋二分之一转子转两圈才归位、麦克斯韦方程的紧凑写法、计算机图形学的姿态插值，全都是它的直接后裔。数学家造了一座桥，造的时候根本不知道河对岸将来会冒出什么。

还可以再补一条平行线索。非欧几何在十九世纪二十年代由俄国的罗巴切夫斯基和匈牙利的波尔约各自独立创立，高斯其实更早想通却按着不发，怕的是"波哀提亚人的叫嚷"。一八五四年黎曼把它推广成任意弯曲流形的几何，一八六八年贝尔特拉米给出第一个非欧平面的模型，证明这门几何相对欧氏几何一样自洽。整个十九世纪，非欧几何是纯思辨的奢侈品，唯一的用途是逼哲学家重新想想康德的空间先验论。然后就是一九零七年到一九一五年，爱因斯坦发现引力恰恰就是时空的非欧几何。还有一个更雅致的例子：椭圆函数，阿贝尔与雅可比在一八二零年代末为求解摆和椭圆积分的反演而发展，纯分析的美物，此后一百多年里，它在可积系统、规范场论、弦论的振幅里一次次现身，第十四章还会遇到它。这样的候场清单可以一直开下去：李群与规范场、旋量与电子、模形式与散射、卡拉比-丘流形与紧化。物理学家每次撞开一扇新门，屋里坐着的往往是穿了半个世纪以上灰尘长袍的数学家。这个现象频率之高、间隔之长，已经不能用人情世故解释。

维格纳自己怎么论证

回到那一九六零年的文章，维格纳的论证其实分两步，值得慢慢摆开，因为很多反驳打的是稻草人。第一步，他坦然承认数学概念起源于经验。几何来自土地丈量，算术来自计数，物理对数学的哺育史不绝书。但关键在后半句：数学一旦诞生，就按自己的内在逻辑膨胀，膨胀的方向与来源毫无关系。虚数来自解方程，却长出了代数基本定理;数论从整数出发，却长出在全复平面上起舞的模形式;几何从拉紧的绳子出发，却长出了不依赖任何度量的拓扑学。数学像一座从码头发展起来的城市，几百年后码头缩成城里一个不起眼的角落，新街区按自己的地形学铺展开去，而且扩张的动力完全是内部的：一个猜想的证明、一处逻辑缝隙的填补、一种对称性的追认。维格纳说，数学是最不讲门第的学问，概念的地位只看它在结构里干了什么，不看它从哪里来。

第二步才是奇迹所在：这座城的新街区，屡屡正好是物理后来要建厂的地方。维格纳在文中举了个轻快的例子，他有位老同学后来做了人口统计学家，某次聊起工作，对方的模型里赫然用到圆周率。人口问题与圆没有一毛钱关系，但描述大量独立随机因素叠加的正态分布里就埋着π，它堂堂正正站在指数前面的归一化因子里，数值还就是一个圆的周长与直径之比。维格纳说，每个数学家都能在别的学科里找到这类越界驻扎的数学对象，数目多到令人不安。他还专门讨论了所谓"数学的超经验有效性"：物理学家从经验里归纳出的方程，常在被归纳的范围之外照样精确。牛顿引力从行星观测里来，却能外推到双星、星团、星系，误差在仪器分辨之内;麦克斯韦方程从实验室的电和磁里来，却能管到一百多亿光年外的射电暴。这种无理由的外推能力，维格纳认为正是数学实在独立于物理实在的证词。文章末尾他说，数学在自然科学中不合理的有效性，是件近乎奇迹的礼物，我们该做的是感恩地领受，并且承认我们对它一无所知。不假装懂，是他给自己划的底线。

便宜的解答都不便宜

当然有人不服，六十年来反驳从未停过，最有力的几支值得摆开。一九八零年，贝尔实验室的汉明在《美国数学月刊》第八十七卷发文回应，标题就叫《论数学的不合理有效性》。他的策略是把魔法拆成人情，给了三条理由。其一，我们看见我们寻找的东西，欧几里得几何之所以在物理学里风光，是因为早期的物理学就是关于天与地的几何，工具箱里只有锤子的人找到的全是钉子。其二，数学的历史被物理需求反复拉扯，微积分为力学而生，最小作用量为光学而生，这不是巧合而是供需关系。其三，符号化的数学天生擅长紧密的推理链，人类沿这条链走得比沿自然语言远得多，所以数学化的问题自然会得到数学化的解答。汉明的论证痛快，但只覆盖了温和案例，也就是数学与物理互相喂养的那一半。它解释不了黎曼几何提前六十一年的候场，解释不了伽罗瓦群在粒子物理里的整套语法，解释不了复数与量子力学的捆绑。库存先于需求，是选择效应无论如何吞不下的硬骨头：数学家选择研究方向时，并没有一个物理未来在前面招手。

在维格纳和汉明之间，还有一位当事人的证词不能略过，就是狄拉克。一九三九年他在爱丁堡的数学学会上做过一场演讲《数学与物理的关系》