走进九章

第一章　走进九章

一、为什么《九章算术》不能「直接读」

市面上流通的《九章算术》读本，几乎全部是「原文加注释」的合刊本。读者翻到「方田」第一题「今有田广一十二步，从田一十四步。问为田几何？」，紧接着就能看到一行小字「广从相乘得积步」。如果他信任这条小字，会立刻写出 $12 \times 14 = 168$，然后翻到下一题。表面看，这是一场顺利的阅读；实际上，他已经踩进了文本考古的雷区：那条小字不是原题的一部分，而是后人补进去的「术」。

《九章算术》并不是一本按现代意义「某作者在某年写成」的书。它是一部累积性文本，从先秦到西汉逐次成书，魏晋刘徽为之作注，唐李淳风、北宋贾宪、南宋杨辉又陆续补订。我们今天读到的每一个「题」，很可能叠着三个时代的痕迹：最底层是古代官吏或数学学习者拟出的问题；中间层是刘徽把零散的算法整理为「术」的注疏；最上层是李淳风等人增补的更细致的算例或符号说明。

这意味着「直接读」是不可能的。任何一句话，在没有标注其所在时间层之前，都可能是后人塞进原文的。例如「方程」章第一题的「术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实如上法，以上二禾为法」，这一段既包含原题的数据，又包含刘徽关于「上禾」「中禾」「下禾」的术语界定。如果把它当成一句来自汉代的连贯记载，就会把刘徽的概念框架误植给《九章》的真正作者。

本章的任务，是为后面的十五次细读画一张地图。我们先建立「时间分层」的意识，让你读到每一句时知道它可能来自哪个时代；然后我们把九章各自的中心问题介绍一遍，每章配一个最简单的算例，让你获得进入该章的预备知识；最后我们交代本书使用的解读约定，包括原文、术文译解、算例三段式的具体做法。这样，当你读到第二章「方田」时，你不会把刘徽注当成《九章》原文，也不会因为某一句读不通就以为自己数学基础不够。

二、《九章》是一部累积性文本

中华数学史的研究在过去一百年里，对《九章》的成书过程做过相当详细的考据。我们现在可以比较有把握地说：现存传本的核心题目，最晚在西汉已经成型；东汉时期可能有过一次整理；魏晋刘徽于公元 263 年前后写成完整的注，把散在各题下的解法归纳为「术」，并补写了大量图解；唐代李淳风等受诏选定算学十书，于 656 年左右再次刊定《九章》；此后贾宪（约 1050 年）、杨辉（约 1261 年）等人又做过局部增订，主要是补充了「开方作法本源」（贾宪三角）和一些新的算例。

为了把这三个时代与中华数学史上的其他节点并置起来，请看下面这张时间轴。

```mermaid flowchart LR A["前5世纪<br/>九章古题<br/>在先秦流传"] B["前1世纪<br/>西汉成书<br/>九章定本"] C["263年<br/>刘徽注<br/>九章算术"] D["656年<br/>李淳风等<br/>再注"] E["1050年<br/>贾宪<br/>开方作法本源"] F["1261年<br/>杨辉<br/>详解九章"] G["现当代<br/>郭书春<br/>校点本"]

A --> B --> C --> D --> E --> F --> G ```

这张图最关键的信息，是「九章」从来不是一个静止的物件。它从 A 移动到 G 的过程中，每一次停靠都有人重新誊写、补订、注释。今天我们拿到的 1980 年代以后郭书春汇校本，是这条长链的最近一环。我们读它，等于在读一条由七个时点串成的对话。

这种「累积性」与西方数学传统中典型的「作者—作品」关系很不同。欧几里得的《几何原本》在相当程度上是公元前 300 年左右某位作者的独立著作；牛顿的《原理》是 1687 年某位作者按计划写成的；而《九章》在某种意义上像一座不断被扩建的城市。它的城墙可以追溯到先秦，但城内很多建筑是魏晋时加盖的，街道指示牌是唐代换过的，地名注释是宋代补的。读者若把这座城市当作「一次性落成」的住宅，就会闹笑话。比如「方程」章第八题，原文是「今有五牛、二羊、一犬，价直不满一贯」，但紧接其后的「术」明确写「右行下禾乘中行」，这一段显然是刘徽的术语，而不是题面所暗示的西汉语境。错把它当作西汉原话，会让读者误以为汉代人已经在用「右行」「中行」这类高阶的矩阵语言；正确做法是把「术」单独标出来，作为刘徽时代的方法论贡献来读。

让我们再举一个具体的例子来说明这种「时间叠加」如何实际影响一次普通的阅读。「少广」章第三题：「今有田积一百二十一步。问为开方几何？」紧跟着是「术曰：置积为实，借一算步之，超一等」。如果读者只看「术曰」之后那一句话，可能会觉得古汉代的开方术跟今天的中学生没什么两样：把被开方数放好，借一位算，超一等。但当他去查刘徽注，会发现刘徽在这一句之后补了几百字的解释，包括「开方图」的具体摆法（用算筹摆出每位上的商数）、「借算」的含义（用一根算筹占位）、「议位」（判断该位上的数字范围）的规则。这些细节中相当部分并未见于原术，是刘徽为教学方便而做的术语规范化。读者若不区分原术与刘徽注，就会以为汉代人已经用「借一算」「超一等」这种高度抽象的步骤语言，而实际上这可能是刘徽教学语言的固化。

三、三种时间层的分别识别

既然《九章》叠着三层时间，我们就需要一套快速识别的方法。我的建议是，每读完一段，先问三个问题。

第一，这段是「题」还是「术」？古题体例极短，多以「今有」开头，以「问…几何？」结尾；术文则多用「术曰」领起，给出可操作的算法。两者的差异在视觉上很显著，但有一种例外：原题之后紧跟的原术没有「术曰」字样，仅以独立段落出现。这就要求读者不仅看字面，也要看内容是否给出了可重复执行的步骤。

第二，如果它是「术」，它是「原术」还是「注」？原术在原题之后紧随给出，篇幅短小，多为一行；刘徽注则通常更长，会解释为什么这样做，会补充推导，会画图。例如「方田」章圆田术，原术只有一行「半周半径相乘得积步」，但刘徽用一段话解释了为何用 $\pi \approx 3$（古率）以及如何得到更精确的圆率 $\pi = 3927/1250$（徽率）——这一段解释性文字就是「注」。

第三，如果它是「注」，它是刘徽注还是后人再注？刘徽注通常以「徽曰」「臣淳风等谨按」之类形式出现，但更可靠的判别依据是看内容：是否引入新的算法符号（如「方程」章里的「左行」「右行」「中行」概念），是否使用开方图，是否引用《周髀》或《九章》本身的术语作为权威。李淳风等的再注则往往带有唐代的术语和算例风格，有时会给出更精确的常数（如对徽率 $\pi = 3927/1250$ 的进一步说明）。

把这三层分开之后，每一句话就有了时间坐标。例如「方程」章第三题的术文部分写着「术曰：以右行左行相减」。这句话其实是刘徽对原术的再表述——原术可能更简单，因为西汉人未必使用「左行」「右行」这种二维矩阵的方位语。「右行左行」是刘徽把方程组的系数布成一个二维矩阵后才说得通的术语。这一处的时间层判定，关键就在术语：凡出现「左行」「右行」「中行」「上禾」「中禾」「下禾」之类方位词，原则上都来自刘徽或更晚的注家。

把这种分层意识养成习惯之后，你读《九章》的方式就不再是「读一段懂一段」，而是「读一段，问一段它属于哪一层」。这种习惯一旦建立，你在读其他古代文献时也会受益——比如读《周髀算经》时同样可以问：这一段是商高与周公的对话原话，还是后人加进去的「注」？

四、九章地图：从方田到勾股

《九章》原书的章次是固定的。第一到第九章依次是方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。这个次序不是随便排的，它大致按「先平面、后立体；先单比例、后多比例；先测量、后代数」的逻辑展开。我们按这个次序过一遍，每章给一个最简算例，让你有一张可以随时回看的地图。

方田（面积与分数）。 这是全书的第一章，处理田地面积的量算与分数运算。最核心的术是「广从相乘得积步」。一个最简例子：今有田广十二步，从十四步。问为田几何？答曰：一百六十八步。这一题的算法就是 $12 \times 14 = 168$，单位是平方步（步²）。分数部分的代表问题是「今有三分之一，三分之二，四分之三。问几何」之类的分数四则——其中关键术「约分术」「合分术」「减分术」「乘分术」「经分术」「课分术」等共同构成了一个完整的分数运算系统。读者进入这一章应带的预备知识是：会做整数乘除，理解「广」「从」是田的宽与长，「积」是面积，并且准备好面对古筹算特有的分数记法——分母在下、分子在上。

粟米（粮食交换的比例）。 这一章处理不同粮食之间的换算，背后是一张精密的比例表。原书给出了粟、粝米、粝饭、御米、御饭、菽、菽饭、麻、麻饭、麦、稻、豉、麹、荞麦等多种粮食之间的交换率。最核心的术是「以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一」。最简例子：今有粟一十石，欲为粝米。问得几何？答曰：为粝米六石。这是按粟 50、粝米 30 的比率，换算 $10 \times 30 / 50 = 6$（单位是石）。读者进入此章应知道这些比率怎么用，以及「实」「法」「实如法而一」的术语含义——「实」是分子上的数，「法」是分母上的数，「实如法而一」即做除法。

衰分（分配的尺度）。 这一章处理按比例分配。最核心的术是「各置列衰，副并为法，以所分乘未分者各自为实，实如法而一」。最简例子：今有甲得三，乙得二，丙得一，凡三人共出六钱，问各出几何？答：甲出三钱，乙出二钱，丙出一钱。这是把 3:2:1 作为分配比例，加总得 6，再用比例项乘总数 6 钱，得各人份额。术语「衰」是「比例」的旧说法，「列衰」指罗列出来的各份之比。读者进入此章要熟悉「衰」就是「比例」的古语，并理解「副并」是把各「衰」项加总作为除数。

少广（开方与圆）。 这一章处理从已知面积反推边长（即开平方）以及圆与方之间的换算。最核心的术是「开方术」：置积为实，借一算步之，超一等，言多位。这一术讲的是把一个数摆成算筹形（如 $576$ 摆成 $5$、$7$、$6$ 三位），借一根算筹占在最高位左侧（表示这位上的商），再向后退一位（即「超一等」），然后求这位上的数字。最简例子：已知田积 576 步²，求边长，按开方术得边长为 24 步。圆的部分处理「圆田」「圆方」「圆囷」等形体的换算。读者进入此章应带的预备知识是：懂「平方根」的概念，知道古筹算如何摆位，并且准备好理解「借一算」这一高度抽象的步骤语言。

商功（体积）。 这一章处理土方工程中的体积计算，包括城、垣、堤、沟、堑、渠等。最核心的术是「城垣术」「堤积术」等。最简例子：今有方堡一所，南北各七尺，东西各九尺，高五尺。问积几何？答曰：三百一十五尺。这里涉及长方体体积 $7 \times 9 \times 5 = 315$ 立方尺。除了长方体，商功章还处理棱台、圆柱、圆锥、圆台、刍童（上小下大的方台）、曲池、曲垣等十几种几何体的体积公式——其中不少是古代中国独有的几何构造。读者进入此章应带的预备知识是：会算长方形与圆面积，准备好面对棱台与圆台公式的复杂代数运算。

均输（运输成本均衡）。 这一章处理按距离加权分配劳役与物资，是线性规划的最早形式。最核心的术是「均输术」：以日行里数为率，各置本人日行里数为法，以所求乘所行里数为实。最简例子：今有均输粟，甲县一万户，行道八日而至；乙县五千户，行道十日而至；合计六千户所输，问各输几何？这是按「户数 × 道里」加权。读者进入此章应带的预备知识是：理解「加权平均」的概念，能把实际距离转换为运输工作日。

盈不足（双重假设）。 这一章处理线性问题的解法，用「两次假设」消解。最核心的术是「盈不足术」：置所出率，以盈不足之数相减，剩余为法，置所出率与盈数相乘，剩余为实，实如法而一。最简例子：今有共买物，人出八盈三，人出七不足四。问人数物价各几何？答：六人，物价四十八。「两次假设」这种方法在西方称为「double false position」，常被认为起源于阿拉伯或印度，但《九章》的盈不足章是这一方法最早的明确记载之一。读者进入此章应带的预备知识是：理解代数中的线性关系，能把「盈」与「不足」转化为正负数。

方程（线性方程组的阵列方法）。 这一章是全书的高潮，处理多元一次方程组。最核心的术是「直除术」与「互乘相消术」。最简例子：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实如上法。二以上禾为法——这是把方程组的系数布成一个二维算筹矩阵，然后按行做消去运算。最简具体例子：今有上禾七秉，下禾九秉，实一十；二以上禾乘下禾减之。这是 $7x + 9y = 10$ 与 $3x + 2y = 6$（假设的第二组）之间的消元。读者进入此章应带的预备知识是：懂矩阵的基本概念，会做加减消元，准备好理解「上禾」「中禾」「下禾」是把三组未知量按行排列形成的阵列。

勾股（直角三角形与测量）。 这一章处理勾股定理及测量。最核心的术是「勾股术」：勾股各自乘，并而开方之，即弦。最简例子：勾三，股四，问弦几何？答：弦五。背后是 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$。勾股章还处理「勾股测量」的实际应用，例如「今有山居木，不知其高」之类的测高问题，以及「今有井径五尺，不知其深」之类的测深问题。读者进入此章应带的预备知识是：懂毕达哥拉斯定理的几何含义，能把它与开方术联系起来。

这张地图是为了让你在接下来每一章的细读之前，先有个全局感。当你读到「均输」时不要以为它在讲交通运输学——它讲的是按距离加权的分配；当你在「方程」里看到「左行右行」，不要以为这是电脑程序里的行——它指代的是算筹在布列时形成的二维矩阵。

五、几个关键的算例预演

为让你在进入第二章之前，就对《九章》的「题—术—注」三段式有一具体感受，我提前给出三个来自不同章节的最简例子。

例一（方田章第一题）。 题：今有田广十二步，从十四步。问为田几何？答：一百六十八步。原术：术曰：广从相乘得积步。这一题没有刘徽注，因为实在太简单。这里的「广」是宽、「从」是长（即纵），二者相乘即得面积。算例的演算过程就是写下 $12 \times 14 = 168$，单位是平方步。

例二（方程章第一题）。 题：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实如上法；以上二禾为法，问上下禾实各几何？这里预设了上禾、中禾、下禾的秉数（即方程中各未知量的系数），并以 1 为单位产量（即上法）。原术：术曰：置上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实如上法；以上二禾为法。把 3、2、1 摆成算筹阵（每行三根算筹），然后做消去。刘徽注：详细解释了如何用「直除术」消元，并给出了算筹摆法的图形。这是「题—原术—刘徽注」三段式最完整的体现。

例三（盈不足章第一题）。 题：今有共买物，人出八盈三，人出七不足四。问人数物价各几何？答：六人，物价四十八。原术：术曰：置所出率，以盈不足之数相减，剩余为法；置所出率与盈数相乘，剩余为实；实如法而一。这里「所出率」即假设的人均出钱 8 与 7。盈 3 不足 4 之差为 7，作为「法」；以「盈数」3 乘「所出率」8 得 24，作为「实」；$24 \div 7$ 得人数。但这里 24/7 不是整数，原书会接着给出第二个公式换算，得整数 6 人。

这三个例子的共同点是：每一题都同时包含「数据」与「算法」，二者紧密咬合。原题给出一个具体场景，原术把这个场景转化为可重复执行的步骤，刘徽注则把这个步骤背后的逻辑讲透。我们读《九章》的方式，就是逐题把这三层剥开来各看一遍。

六、本书的阅读约定

为避免每次细读都重复约定，我把本书的技术体例固定如下三段式。

原文段。 一切引自《九章》原文的句子，一律以郭书春校点本（《汇校九章算术》增补版，辽宁教育出版社，或科学出版社近年新版）的句读为准。遇到一字两读且诸家分歧的，本书给两读而不强行定论。例如「盈不足」章的「凖」字，或作「准」，或作「凖」，本书并存。原文中偶有句读两可的，本书按郭本校点的句读为准；若诸家异说并存，则以脚注形式列出。

术文译解段。 原文之后紧跟术文的现代汉语译解。这一段严格保留「以…为…」式的古典句法结构。例如「以所分乘未分者各自为实」译为「以所分配之数乘未分配者，各自得实数」。这样既保留了古书的节奏，又让现代读者能读懂。术语的翻译遵循「以古训今」的原则——能不译的就不译，保留古汉语原貌；非要译的，按唐宋注疏与现代数学史界的通行译法。例如「实」「法」「乘」「除」「以…」皆保留，只在必要时加现代汉语括注。

算例段。 每一条术之后，给出至少一个完整的现代算例。算例的演算过程按算筹写法的现代对译写清，包括每一步骤的中间结果。例如「方程」章第一题的算例，会列出「上禾三秉、中禾二秉、下禾一秉」如何布成算筹阵，再列出第一步「以右行乘左行」「置为新行」的演化，并附现代代数记号 $3x + 2y + z = ?$（以对应解释）。算例优先选用原书已有的例子，只在必要时补充新的例子——新增的例子会标注「本书另设」。

这三段式是本书的核心方法：原文段是底片，术文译解段是说明文字，算例段是带读者走一遍的实测。三者配合，每一章的学习就形成一个闭环。读者读完一段原文，能通过译解知道它在说什么；再通过算例知道它在做什么。

七、给初学者的一份预备清单

在进入第二章之前，请确认你已经具备以下预备知识。

整数四则：加减乘除都要熟练，特别是「直除」的概念——两个整数相除只取整数部分，这在古筹算中极为常见。分数运算：约分、通分、四则运算都要会，特别是「合分」即分数加法、「课分」即分数比较大小。开方根：理解平方根、立方根的几何含义与数值算法。比例：理解「甲之比乙」即甲:乙 = p:q，能把它转化为分数 $p/(p+q)$。算筹摆位：知道古筹算用算筹表示数字，且分母在下、分子在上。

如果以上某项你还不熟练，建议先翻到相应章节的附录——本书在每一章末尾都给出该章需要的预备知识点，并指出参考练习。务必不要因为某个术语一时读不懂就放弃整个章节——古汉语术语的陌生是暂时的，一旦你习惯了「以…为…」「实」「法」「乘」「除」的用法，阅读速度会迅速上升。

八、现在，让我们先站到一块方田上

读完本章，你应该已经把《九章》想成一座不停扩建的城，把每一句话都放进时间坐标里；你也已经拿到了九章地图，知道每一章的中心问题和最简算例；你更知道本书的解读遵循原文、术文译解、算例三段式。

那么，让我们从全书的入口——方田章——开始一次真正的细读。你将看到，如何在十二步乘十四步的简单面积问题中，发现分数的精细使用；如何区分古题与刘徽注；如何把「半周半径相乘得积步」这一句话，真正还原成圆面积公式的原始推导。第二章我们将进入方田，全书最朴素也最容易被忽视的一章。但正是这一章里的分数运算，为后来粟米、衰分、均输的比例系统埋下了基础；正是这一章里的圆面积公式，为后来少广、商功的立体几何埋下了基础。一座数学大厦的地基，往往藏在最不起眼的第一章里。

本章小结

《九章算术》是一部累积性文本，叠着先秦古题、魏晋刘徽注、唐宋再注三层时间。读它的人必须养成「问一句属于哪一层」的习惯，否则就会把后人的术语误植给原作者。九章按方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股的次序展开，大致按先平面后立体