宇宙学基础与弗里德曼方程

现代宇宙学试图以物理学第一性原理描述宇宙的整体行为，其核心在于建立一组描述时空度规演化的动力学方程。这些方程不仅决定了宇宙的膨胀历史，还编码了其中物质和能量组分的丰度与性质。本章将系统推导这些方程——即弗里德曼方程——并建立现代宇宙学标准模型（ΛCDM）的数学基础。我们将从宇宙学原理出发，引入弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FLRW）度规，通过爱因斯坦场方程严格推导出描述尺度因子演化的两个关键方程。随后，我们定义哈勃参数、密度参数等核心概念，阐明它们如何刻画宇宙的几何、组成与动力学。作为理论框架的实证支撑，本章将详细评述宇宙微波背景辐射（CMB）的观测历程，从COBE到WMAP再到Planck，分析CMB温度功率谱中的声学峰结构如何成为测量宇宙学参数的“标准尺”。最后，我们概述ΛCDM模型的参数集，并通过Python代码示例展示如何利用现代表述库（如`astropy`）进行宇宙学计算，以及如何从CMB功率谱数据中提取关键信息。本章内容构成后续各章的理论基石，无论是讨论暗能量、早期宇宙物理，还是结构形成，均需回归于此基本框架。

1.1 宇宙学原理与FLRW度规

1.1.1 宇宙学原理的表述与哲学基础

宇宙学原理是现代宇宙学的两大基石之一（另一基石是广义相对论），它断言：在足够大的尺度上（通常认为超过100 Mpc），宇宙是均匀且各向同性的。均匀性意味着宇宙的物质分布不依赖于空间位置；各向同性意味着从任意一点观测，宇宙在大尺度上看起来相同，没有优先方向。这一原理并非显然成立——局部宇宙存在星系、星系团、超星系团等结构——但大量观测证据表明，当平均尺度超过数亿光年后，这些涨落被平滑，宇宙呈现出惊人的均匀和各向同性。

宇宙学原理的哲学渊源可追溯至哥白尼革命，即否定地球在宇宙中的特殊地位。牛顿力学曾暗示无限均匀宇宙的困难（引力佯谬），但现代宇宙学通过膨胀动力学解决了这一问题。重要的是，宇宙学原理是一个观测假设，其有效性由数据检验。CMB的高度各向同性（温度涨落仅约十万分之一）是其最强证据：若宇宙在大爆炸后38万年时已高度均匀，则此后在引力作用下，均匀性应被破坏，除非宇宙足够年轻或膨胀足够快。事实上，CMB的观测均匀性要求早期宇宙必须具有极高的均匀性，这引出了暴胀理论作为宇宙学原理的深层解释。

1.1.2 FLRW度规：均匀各向同性时空的数学表述

在广义相对论中，时空几何由度规张量 \( g_{\mu\nu} \) 描述。宇宙学原理要求度规在空间平移和旋转下不变，这强烈限制了度规的形式。最一般的均匀各向同性度规是弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克（FLRW）度规，可写为：

$$ ds^2 = -c^2 dt^2 + a(t)^2 \left[ \frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2 (d\theta^2 + \sin^2\theta \, d\phi^2) \right] $$

其中：

• \( t \) 是宇宙时（comoving time），对应于与宇宙膨胀一同运动的观测者的固有时；
• \( a(t) \) 是**尺度因子**（scale factor），描述宇宙随时间的膨胀或收缩，通常归一化使得当今 \( a(t_0) = 1 \)；
• \( (r, \theta, \phi) \) 是共动坐标（comoving coordinates），随宇宙膨胀而“固定”在物质上；
• \( k \) 是**曲率常数**，取值 \( k = +1, 0, -1 \) 分别对应封闭（球面）、平坦（欧氏）和开放（双曲）空间几何；
• \( c \) 是真空光速。

FLRW度规的几何结构可通过共动距离（comoving distance）和物理距离（proper distance）来理解。在时刻 \( t \)，两个共动坐标点 \( r_1 \) 和 \( r_2 \) 之间的物理距离为 \( a(t) \int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{\sqrt{1-kr^2}} \)。尺度因子 \( a(t) \) 的演化完全由物质和能量内容决定，这正是弗里德曼方程要描述的。

侧边栏：度规的对称性 FLRW度规的空间部分是三维最大对称空间（常曲率空间）。这意味着存在六个 Killing 矢量（三个平移，三个旋转），保证了均匀性和各向同性。曲率常数 \( k \) 与三维空间的曲率标量 \( R^{(3)} \) 相关：\( R^{(3)} = 6k / a^2 \)。在 \( k=0 \) 时，空间平坦；\( k>0 \) 时，空间正曲，体积有限但无边界；\( k<0 \) 时，空间负曲，体积无限。

1.1.3 共动坐标与物理坐标的转换

宇宙学观测通常给出红移 \( z \)，它与尺度因子的关系为：

$$ 1 + z = \frac{a(t_0)}{a(t_{\rm emit})} $$

其中 \( t_{\rm emit} \) 是光子发射时刻，\( t_0 \) 是观测时刻。红移 \( z \) 直接反映了宇宙的膨胀：\( z>0 \) 表示宇宙自发射以来已膨胀。对于小红移，哈勃定律 \( v \approx H_0 d \) 成立，其中 \( v \approx cz \) 是退行速度，\( d \) 是物理距离。但对于大红移，必须通过积分共动距离来精确计算。

共动距离 \( \chi \) 定义为：

$$ \chi(t) = \int_{t_{\rm emit}}^{t_0} \frac{c \, dt}{a(t)} = \int_{a(t_{\rm emit})}^{1} \frac{c \, da}{a^2 H(a)} $$

其中 \( H(a) = \dot{a}/a \) 是哈勃参数。物理距离（如角直径距离、光度距离）依赖于 \( a(t) \) 的积分历史，这正是宇宙学参数拟合的关键。

1.2 爱因斯坦场方程与弗里德曼方程的推导

1.2.1 爱因斯坦场方程回顾

爱因斯坦场方程是广义相对论的核心，将时空几何与物质能量内容联系起来：

$$ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $$

其中：

• \( G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} \) 是爱因斯坦张量，\( R_{\mu\nu} \) 是里奇张量，\( R \) 是里奇标量；
• \( \Lambda \) 是宇宙学常数，代表真空能量或暗能量；
• \( T_{\mu\nu} \) 是能动量张量，描述物质和辐射；
• \( G \) 是牛顿引力常数。

在场方程中，\( \Lambda \) 项可移至右侧，视为有效能动量张量 \( T^{\Lambda}_{\mu\nu} = -\frac{\Lambda c^4}{8\pi G} g_{\mu\nu} \)，对应状态方程 \( p_\Lambda = -\rho_\Lambda c^2 \)，即负压。

对于均匀宇宙，能动量张量取完美流体形式：

$$ T_{\mu\nu} = (\rho + p/c^2) u_\mu u_\nu + p g_{\mu\nu} $$

其中 \( \rho \) 是能量密度（包括静质量能和内能），\( p \) 是压强，\( u^\mu \) 是流体四速度。在共动坐标系中，\( u^\mu = (c, 0, 0, 0) \)，故：

$$ T_{00} = \rho c^2, \quad T_{ij} = p g_{ij}, \quad T_{0i}=0 $$

1.2.2 FLRW度规的几何量计算

为将场方程应用于FLRW度规，需计算其克里斯托费尔符号、里奇张量和里奇标量。度规写为：

$$ g_{00} = -c^2, \quad g_{ij} = a(t)^2 \tilde{g}_{ij} $$

其中 \( \tilde{g}_{ij} \) 是三维常曲率空间的度规：

$$ \tilde{g}_{rr} = \frac{1}{1-kr^2}, \quad \tilde{g}_{\theta\theta}=r^2, \quad \tilde{g}_{\phi\phi}=r^2\sin^2\theta $$

其逆度规为：

$$ g^{00} = -1/c^2, \quad g^{ij} = \frac{1}{a^2} \tilde{g}^{ij} $$

克里斯托费尔符号由 \( \Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma} (\partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} - \partial_\sigma g_{\mu\nu}) \) 计算。由于度规仅时间依赖，非零分量包括：

$$ \Gamma^0_{ij} = \frac{a \dot{a}}{c^2} \tilde{g}_{ij}, \quad \Gamma^i_{0j} = \Gamma^i_{j0} = \frac{\dot{a}}{a} \delta^i_j, \quad \Gamma^i_{jk} = \tilde{\Gamma}^i_{jk} $$

其中 \( \tilde{\Gamma}^i_{jk} \) 是 \( \tilde{g}_{ij} \) 的克里斯托费尔符号（仅依赖于 \( k \)）。

里奇张量 \( R_{\mu\nu} = \partial_\lambda \Gamma^\lambda_{\mu\nu} - \partial_\nu \Gamma^\lambda_{\mu\lambda} + \Gamma^\lambda_{\lambda\sigma} \Gamma^\sigma_{\mu\nu} - \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} \Gamma^\sigma_{\mu\lambda} \) 计算如下：

• \( R_{00} = -3 \frac{\ddot{a}}{a} \)
• \( R_{0i} = 0 \)
• \( R_{ij} = \left( a \ddot{a} + 2 \dot{a}^2 + 2 k c^2 \right) \frac{\tilde{g}_{ij}}{c^2} \)

里奇标量 \( R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} = g^{00} R_{00} + g^{ij} R_{ij} \)：

$$ R = -\frac{3}{c^2} \left( \frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k c^2}{a^2} \right) $$

推导细节： \( R_{00} = \partial_i \Gamma^i_{00} - \partial_0 \Gamma^i_{i0} + \Gamma^\lambda_{\lambda\sigma} \Gamma^\sigma_{00} - \Gamma^\lambda_{0\sigma} \Gamma^\sigma_{0\lambda} \)。由于 \( \Gamma^i_{00}=0 \)，第一项为零。\( \Gamma^i_{i0} = 3 \dot{a}/a \)，故 \( -\partial_0 \Gamma^i_{i0} = -3 \ddot{a}/a \)。后两项涉及 \( \Gamma^\sigma_{00} \) 和 \( \Gamma^\sigma_{0\lambda} \)，经计算得 \( R_{00} = -3\ddot{a}/a \)。 对于 \( R_{ij} \)，利用 \( \Gamma^k_{ij} = \tilde{\Gamma}^k_{ij} \) 和 \( \Gamma^0_{ij} \)，经 lengthy 计算可得上述结果。

1.2.3 爱因斯坦方程的简化与动力学方程

代入爱因斯坦张量 \( G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} \)：

• \( G_{00} = R_{00} - \frac{1}{2}

1.2.3 弗里德曼方程的最终形式

将计算出的几何量代入爱因斯坦场方程 $ G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu} $。首先考虑 $ \mu=\nu=0 $ 分量：

$$ G_{00} + \Lambda g_{00} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{00} $$

其中 $ G_{00} = R_{00} - \frac{1}{2} R g_{00} $。代入已知：

$$ R_{00} = -3 \frac{\ddot{a}}{a}, \quad R = -\frac{3}{c^2}\left( \frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k c^2}{a^2} \right), \quad g_{00} = -c^2 $$

因此，

$$ G_{00} = -3 \frac{\ddot{a}}{a} - \frac{1}{2} \left[ -\frac{3}{c^2}\left( \frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k c^2}{a^2} \right) \right] (-c^2) = -3 \frac{\ddot{a}}{a} + \frac{3}{2}\left( \frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k c^2}{a^2} \right) $$

化简：

$$ G_{00} = -\frac{3}{2} \frac{\ddot{a}}{a} + \frac{3}{2} \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{3}{2} \frac{k c^2}{a^2} $$

方程左侧为 $ G_{00} + \Lambda g_{00} = G_{00} - \Lambda c^2 $。右侧 $ T_{00} = \rho c^2 $。于是：

$$ -\frac{3}{2} \frac{\ddot{a}}{a} + \frac{3}{2} \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{3}{2} \frac{k c^2}{a^2} - \Lambda c^2 = \frac{8\pi G}{c^4} \rho c^2 = \frac{8\pi G}{c^2} \rho $$

整理，乘以 $ 2/3 $：

$$

• \frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k c^2}{a^2} - \frac{2\Lambda c^2}{3} = \frac{16\pi G}{3 c^2} \rho \tag{1}

$$

再考虑空间分量。由于各向同性，只需看 $ i=j $ 分量。场方程 $ G_{ij} + \Lambda g_{ij} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{ij} $。已知 $ T_{ij} = p g_{ij} $，且 $ G_{ij} = R_{ij} - \frac{1}{2} R g_{ij} $。代入：

$$ R_{ij} = \left( a \ddot{a} + 2 \dot{a}^2 + 2 k c^2 \right) \frac{\tilde{g}_{ij}}{c^2}, \quad g_{ij} = a^2 \tilde{g}_{ij}, \quad R = -\frac{3}{c^2}\left( \frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k c^2}{a^2} \right) $$

计算：

$$ G_{ij} = \left( a \ddot{a} + 2 \dot{a}^2 + 2 k c^2 \right) \frac{\tilde{g}_{ij}}{c^2} - \frac{1}{2} \left[ -\frac{3}{c^2}\left( \frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k c^2}{a^2} \right) \right] a^2 \tilde{g}_{ij} $$

$$ = \left( a \ddot{a} + 2 \dot{a}^2 + 2 k c^2 \right) \frac{\tilde{g}_{ij}}{c^2} + \frac{3}{2} \left( \frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k c^2}{a^2} \right) a^2 \tilde{g}_{ij} $$

注意 $ a \ddot{a} + 2 \dot{a}^2 = a \ddot{a} + \dot{a}^2 + \dot{a}^2 $，合并项：

$$ G_{ij} = \left[ \frac{ a \ddot{a} + 2 \dot{a}^2 + 2 k c^2 }{c^2} + \frac{3}{2} \left( \frac{\ddot{a}}{a} + \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k c^2}{a^2} \right) a^2 \right] \tilde{g}_{ij} $$

$$ = \left[ \frac{ a \ddot{a} + 2 \dot{a}^2 + 2 k c^2 }{c^2} + \frac{3}{2} ( a \ddot{a} + \dot{a}^2 + k c^2 ) \right] \tilde{g}_{ij} $$

合并同类项：

系数为 $ \frac{1}{c^2}(a\ddot{a} + 2\dot{a}^2 + 2k c^2) + \frac{3}{2}(a\ddot{a} + \dot{a}^2 + k c^2) = a\ddot{a} \left( \frac{1}{c^2} + \frac{3}{2} \right) + \dot{a}^2 \left( \frac{2}{c^2} + \frac{3}{2} \right) + k c^2 \left( \frac{2}{c^2} + \frac{3}{2} \right) $

这似乎复杂