柯尼斯堡七桥

第一章 柯尼斯堡七桥

河中间的教堂岛

一七三六年的柯尼斯堡是普鲁士王国最东边的一座骄傲的城市。条顿骑士团在一二五五年建起它，给它取了个响亮的名字，国王之山。普雷格尔河从东边流进来，在城中心摊开成一个葫芦形的水面，又从西边流出去。河心有一座岛，叫克奈普霍夫，岛上立着大教堂，教堂旁边是老大学，一五四四年就办起来了。康德一辈子没离开过这座城市，一七三六年他十二岁，还只是个移民马具匠的儿子，没人想到这孩子日后会替哲学界给全城的思想定调。

柯尼斯堡是个靠水吃饭的港城。波兰内地的木材、谷物、蜂蜜和亚麻顺着支流漂下来，在这里换海船出口，不列颠的盐和香料逆着进来。城里的财富都压在桥上：连接岛与两岸的桥就是这座城市的血管。一七三六年，血管共有七条，每条都有自己的名字和脾气。商桥最阔气，桥头的交易所天天热闹；绿桥挨着咖啡馆，蜜桥据说是市长自掏腰包修的，为的是方便自己去小岛上的花园；还有铁匠桥、木桥、高桥和一座凯特尔桥。这些桥把城市分成四块陆地：克奈普霍夫岛独自占了五座桥，北岸三座，南岸三座，东边那个巴掌大的洛姆泽岛三座。加起来十四次计数，因为每座桥都接了两块地，正好是七座桥乘二。

就是这七座桥，让城里爱动脑筋的人犯了职业病。散步是市民的正经消遣，特别是在礼拜日，从祷告服换下之后。有人提出一个问题：能不能设计一条散步路线，从家里出发，把七座桥每一座都走一遍，而且只走一遍，最后回到家？没有人能做到。有人退一步，不要求回家，只要求每桥恰好过一次，行不行？还是没有人做到。这个题目在咖啡馆里被反复摆弄，就像一块被摸亮了的黄铜门把手。它看起来那么具体，那么物质，桥就在那里，腿就长在身上，怎么会连试都不用试就下结论？

这道题最后没能被柯尼斯堡人自己解决，倒是被一个从来没见过普雷格尔河的人解决了。

要理解一道市民消遣题怎么会有资格走出这座城市，得先看看柯尼斯堡的脑子。这座五万人的城市在十八世纪三十年代拥有欧洲密度相当高的智力生活：大学里有数学教授朗格尔，青年哲学怪才哈曼刚刚开始他晦涩的写作，十几年后赫尔德要从这里出发去辅佐魏玛的歌德。绿桥边的咖啡馆是商人、军官和学者共用的沙龙，牌桌旁边就是辩论桌，市面上的话题从波罗的海的关税一路滑到行星的轨道并不稀奇。散步难题正是在这种空气里发酵的：它足够具体，普通人也听得懂；又足够刁钻，专业几何学家也拿不出说法。它具备一道好趣题的全部传染性。所以当但泽的官员圈子听说此题，顺手又寄往圣彼得堡的时候，这道题其实已经完成了数学问题最关键的跃迁，离开原产地，变成一件可以在信件里流通的思想货币。

接货的人住在涅瓦河边。这里要提前交代这座城市的结局，免得后文再回头。一九四四年八月底，英国皇家空军连续两个晚上把燃烧弹倾倒在这座中世纪老城上，教堂的尖顶烧塌，克奈普霍夫岛上的街巷化为白地，七座桥大多毁于大火和两年后的巷战。一九四五年之后它归了苏联，改名加里宁格勒，今天属于俄罗斯飞地。七座老桥只有蜜桥还大致是原来的样子，其余是战后重建或新建的。城市换了几茬主人，桥换了几副骨架，可那个关于散步的问题没有死。它甚至比这座城市的任何一个朝代都活得长。这大概就是数学问题与人世麻烦的区别：人世的麻烦靠拆桥解决，数学的麻烦拆了桥还在。

两封写于一七三六年的信

欧拉一七〇七年生在巴塞尔，一七二七年到圣彼得堡科学院任职，一七三六年他二十九岁，已经是欧洲数学界公认的机器，一年能产出十几篇论文，眼睛也已经开始坏，后几年几乎失明。他从未去过柯尼斯堡。问题是怎么到他手里的？是通过信。但泽市长卡尔·戈特利布·埃勒对数学有兴趣，他和柯尼斯堡的军官圈子有来往，这道桥的问题经由他朋友、但泽中学的数学教授海因里希·屈恩转给了埃勒，埃勒又写信向欧拉求教。一封一封的信在波罗的海岸边飞来飞去，问题就这么漂进了圣彼得堡。

一七三六年三月十三日，欧拉先给维也纳宫廷天文学家乔瓦尼·马利诺尼写了信，里面说，有人给他出了一个问题，据他所知属于所谓位置几何，莱布尼茨早就念叨过这门学问，谈的是与量无关、只与位置有关的关系。他坦言这个问题本身平凡得很，却让他觉得有意思，因为他看不出该用什么办法去处理它。这句话值得多念两遍。一个能在数论和分析里翻江倒海的人，面对一个散步问题，第一反应竟然是找不到合适的工具。三个星期后，四月三日，他回信埃勒，语气客气了一些，说这个解法属于莱布尼茨所说的位置几何，这门学科至今几乎无人耕耘，所以连一个像样的定义都还没有。他抱怨自己手头的事情太多，答应回头把论证寄去。

值得庆幸的是，他食言得很快，实际的解法就附在那封四月三日的回信里，没有等论文。欧拉先客气地说，这道题与数学的关系最小，随即笔锋一转：不过正是这种题目，让人看清几何学里量与位置的分界。然后他直接在信纸上摆开账目，说明甲乙丙丁四块陆地各有几座桥，指出如果每块地上的桥数都是偶数，散步随时可以封闭；柯尼斯堡的麻烦在于四块陆地全是奇数，而奇数的分量超过了起点终点两个名额。这封今天保存在档案里的信，可以看作整门学科的第一份手稿，比正式论文早了四个多月。留存下来的埃勒与欧拉通信只有寥寥几封，时间都集中在一七三五年冬到一七三六年春，题目谈的就是这七座桥。历史有时候节约得近乎敷衍：一门学问的全部出生文件，几封信，一短文，加一张河的草图。

这里得说说莱布尼茨那张五十七年前的支票。一六七九年九月，莱布尼茨给惠更斯写信，抱怨几何学里一切都是线和量的计算，他梦想一门直接处理位置的科学，叫它位置分析。惠更布斯没有当真，回信里客气地泼了冷水。此后半个多世纪，没人兑现这张支票，因为没人知道它该怎么兑换。欧拉在两封信里两次主动提起莱布尼茨，说明他自己清楚手头这件事的谱系：他不是在解一道趣题，他是在替一门不存在的学科打样。我的判断是，那封写给马利诺尼的信比论文本身更珍贵，因为论文只给出答案，信里那句看不出该用什么办法，才是一个新学科临盆前的真实阵痛。

圣彼得堡的宣读与一篇迟到的论文

一七三六年八月二十六日，欧拉把完整的论文提交给圣彼得堡科学院。论文用拉丁文写成，标题直译过来是《论一个与位置几何有关的问题的解法》，登在科学院的《评论》杂志第八卷上，一百二十八页到一百四十页。十八世纪的学术出版节奏和今天不一样，那一卷要等到一七四一年才印出来，而欧拉本人已经在一七四一年六月离开了俄国，去柏林科学院就任数学部主任。也就是说，当七桥问题的正式解答终于见诸印刷的时候，作者已经在另一个国家开始给腓特烈大帝的宫廷算炮弹弹道了。数学史上这种错位很常见，思想走在邮路上，人在换雇主。

那几年的欧拉正处在一生中最沉重的负荷之下。一七三五年，科学院承接了一项紧急的天文任务，编制精确的月表，据同事们估计要几个月，欧拉三天三夜做完，随后一场大病，到一七三八年他的右眼彻底失明。他自己在信里把这归咎于过度劳累，后世医生猜可能是白内障或视网膜问题，但当时圣彼得堡的人都相信那个更简单的因果：他是被工作烧坏的。就在这样的日程表里，他顺手为一道散步题写了信和论文。这件事可以有两种解读，一种是这题太小，不值得算工作量；另一种是这题太怪，大到能让一台习惯了碾压难题的机器停下来琢磨自己的工具箱。我倾向于后者，因为论文里那种立法者的口吻骗不了人，他不只是在交答案，他是在给一类问题划定地界。

论文本身不长，按今天的标准大概六七页，却安排得像一场完整的战役。欧拉先复述问题，画出河与桥的示意图，然后立刻宣布他的策略：只把每块陆地涉及桥的数目记下来，别的一概不管。他给四块陆地标上字母，北岸记作乙，岛记作甲，南岸记作丙，洛姆泽记作丁，然后开始数桥。论文的后半段，他把方法推广，讨论任意多条河、任意多座桥的一般情形，甚至给出一套机械的列表程序，对着一张表就能查出路线存在与否。最后他回到柯尼斯堡，宣布结论：这样的散步不存在，无论起点在哪里，无论要不要回家。

有一处细节最能说明欧拉的清醒。他在论文里明说，这个问题属于位置几何，其中的知识只涉及位置，不涉及量，所以既不需要公式，也不需要计算，只用推理就能完成。这话从全欧洲最猛的计算机器口中说出来，有一种反差的诚意。一个靠算功吃饭的人，郑重其事地宣布这一回不用算，这本身就是对一门新学问边界的划定。后人把这篇论文公认为图论的第一篇文献，原因不在于它解决了散步，而在于它示范了什么该被扔掉。

把地图揉成一团

现在来看那个被讲了两百多年的关键步骤，讲的时候我想尽量还原它的新奇，因为教科书的转述早已把它磨得太光滑。欧拉说，既然桥的长度、陆地的形状、河面的宽窄都和问题无关，那就把它们全部抹掉。四块陆地缩成四个点，七座桥缩成七条线，每条线连着它两头的那两个点。柯尼斯堡的地图于是变成一个小学生涂鸦：四个点，七条线，甲点连出五条线，乙丙丁各连出三条。散一次步，无非是沿着线在点之间挪动，每条线只许走一次。

今天我们把这种点和线的组合叫图，把这门学问叫图论，都觉得天经地义。可是一七三六年没有人这么想过。几何学从巴比伦人和埃及人量地开始，两千年的主业是测量：长度、角度、面积、比例。欧几里得公理体系再演绎严密，对象仍然是图形的量。突然有个人宣布，图形可以被揉成一团，只要粘在一起的方式不变，问题就不变。距离死了，形状死了，剩下的只有连接。这不是偷懒，这是在给一类全新的问题立法：什么算相关，什么算无关。后来整个拓扑学，说白了就是这门立法技术的不断升级。所以我的看法是，七桥问题的真正答案不是那句不可能，而是那张四个点七条线的图。不可能只是结论，图才是贡献。

还有一层细微的差别值得指出来。欧拉论文里画的插图，今天看其实还是一张地图的简笔，河道的弯、岛屿的形都还依稀可辨，四个字母标在相应的位置上。也就是说，他的抽象是在脑子里完成的，笔下的图形还披着地理的外衣。真正赤裸的点线图，那种点可以随便摆、线可以随便弯、只认连接的图，要到二十世纪柯尼希的教科书里才成为标准符号。从欧拉的地图到柯尼希的图，中间隔着概念的第二级跳：第一跳是扔掉距离，第二跳是承认图本身是独立对象，不需要任何地理借口。我们今天觉得理所当然的一切教科书插图，都是这两跳之后的产物。顺带说，为什么欧拉不干脆把所有走法穷举一遍？七座桥的排列组合算下来是天文数字级别的路线，而且换一座城市就得重算，他的列表法却是通用的，对着任何桥表查几行就能出结论。通用性，才是他要的东西。

还要注意欧拉表示散步的方式。一次走过若干桥的路线，他写成大写字母的序列，比如甲乙丙丁甲，相邻两个字母就代表走过一座桥。一条完整的散步就是一个字符串，桥数加一那么长，每个字母出现的位置受它那块陆地上的桥数约束。这个编码在今天看来朴素得可笑，但在当时是让问题从脚底板走进符号世界的第一次搬运。数学史上的大转折常常长这副不起眼的样子。

奇数桥的判决

判决本身短得可以让门外汉在餐桌上复述。设想你正在散步，走到某块陆地上。如果这不是起点也不是终点，你就还得离开，来一次走一座桥，走一次消耗一座桥，进出成对。所以对任何一块中途回合的陆地，踏过它的桥数必须是偶数。换句话说，桥数为奇数的陆地，只能充当散步的起点或者终点，没有第三种角色。一次散步只有一个起点一个终点，所以奇数桥的陆地最多只能有两块。柯尼斯堡的账目是：甲五座，乙三座，丙三座，丁三座，四块全奇。四个奇数对两个名额，超编一倍，散步就此被判了死刑。没有量一根桥长，没有画一条辅助线，数数加配对，结案。

欧拉在论文里顺势给出了一般规则。若所有陆地都是偶数桥，且各块连通，那么从任何一块出发都能走遍每桥恰好一次并回到起点，今天叫欧拉回路。若恰有两块奇数桥，那么从其中一块出发、到另一块结束的路线存在，这叫欧拉路径。若奇数桥的陆地超过两块，一切免谈。他甚至做了反事实的沙盘推演：假如在两块奇数陆地之间再添一座第八桥，奇数块立刻减为两块，散步马上从不可能变成可能。一座桥的出入，决定整座城市的散步权。这种玩法说明他对自己方法的威力心里有数，问题对他而言早已不是柯尼斯堡，而是任意一张桥表。

严格的现代眼光会挑出一个漏洞。欧拉把不可能的方向证得滴水不漏，可是存在性那一面，也就是规则里说路线存在的那两条，他只是断言，没有给出完整论证：为什么凑够了奇偶条件就一定能走出路线？这个缺口等了一百多年，到一八七三年才由德国数学家卡尔·希尔泽尔补上。他构造了今天教科书里的标准算法，从任一边出发逐步延伸、把走过的边删掉、最后把剩下的圈接回去，保证一笔画成功。可惜他英年早逝，论文由同事整理发表在《数学年鉴》第六卷上，署的是遗作。所以严格地讲，今天我们走的那条定理应该叫欧拉-希尔泽尔定理。这个补丁的历史是个好提醒：大人物开辟方向，小人物铺完路面，学科就是这样长成的。

论文里还有一张流传很广的表。欧拉把从甲出发可能的第一步枚举出来，甲乙、甲丙、甲甲这样的搭配列成十六行，逐行核对每块陆地被字母对触发的次数，等于把整个问题压进一张账单。十九世纪的印刷技术下，那张密密麻麻的拉丁字母表有种笨拙的诚恳：作者生怕读者不信，把每一格都算给你看。数学写作后来学乖了，学会了把这种体力活藏在引理后面，只把优雅的骨架示人。可我总觉得，初等数学史最动人的部分恰恰是这些笨功夫，它们提醒你，定理在被简化成三行之前，都曾经是一张十六行的表。

回头看这个证明的气质。它用的唯一武器是奇偶性，而奇偶性恰恰是那种在一切连续变形下最稳定的东西，你拉伸一条线、弯曲一块地，进出配对的账目纹丝不动。欧拉未必用后来的语言想过这些，但他挑中的论证要点，恰好是那种日后被称作拓扑不变量的东西。这一点下一章还会更清楚地显形，当他对多面体数顶点、棱、面的时候。

这道题传到中文世界，换了一副更家常的面孔，叫一笔画。孩子们在方格纸上画房子、画雨伞，问哪张图能不抬笔一笔勾完，用的正是欧拉的判据：数一数奇点，也就是连出奇数条线的点，一个都没有，可以从任何点起笔并且收笔回到原处；恰好两个，从一个奇点起笔到另一个奇点收笔；三个以上，认输。中国的小学数学奥林匹克把这条规则当入门教具，很多孩子不知道，他们课间玩的东西是欧拉的定理。更妙的是这条思路还拐进了中国的邮政。一九六二年，年轻的数学家管梅谷在《数学学报》上发表《奇偶点图上作业法》，问的是另一个接地气的问题：一个邮递员要从邮局出发，把辖区每条街道至少走一遍，再回邮局，怎么走总路程最短。当所有路口都是偶点，答案就是欧拉回路；有奇点，就得挑一些街重走，问题变成在奇点间配对求最短，后来归结为图上匹配理论的漂亮应用。美国标准局的数学家戈德曼读到后建议把它命名为中国邮递员问题，一九七三年埃德蒙兹与约翰逊的求解论文正式用了这个名字。一道题目以国家命名，在运筹学里独此一份，它的血缘两头都清楚：一头是但泽市长转来的散步题，一头是中国街巷里的自行车铃。

几何学的另一半

莱布尼茨管它叫位置分析，欧拉在论文里沿用了位置几何这个称呼。这门设想的学问与传统几何的分野，用欧拉自己的话说，在于后者研究量，前者研究位置。量是可以比大小、可以四则运算的东西；位置是关系，是连接，是里外、相邻、隔断。七桥问题之所以在传统几何里无处安放，正是因为它的全部内容都是关系：哪块地和哪块地挨着。桥修长修短、改木改石，问题原封不动。一门学问如果研究对象对这类改动完全无感，它就该有自己的名字和自己的方法。这个认识，比那篇论文里任何一个具体结论都重要。

欧拉之后，位置几何的说法在一小圈人手里流传。一七七一年，法国数学家范德蒙德研究国际象棋里马的巡回路线，开篇就声明这个课题属于位置几何，因为只与格子的相对位置有关，与距离无关。这是欧拉思路的第一次自觉接力。再往后，高斯在一八三三年的笔记里研究两条电磁学里的闭合导线，写下了一个计算环绕数的积分，旁边发了一句牢骚：位置几何的若干最重要内容还几乎无人开垦。这句话藏在他的遗稿里，当时无人读到。一八四六年，他又在给天文学家舒马赫的信里旧话重提，说这门研究位置的学问值得有人系统去做。接住这句话的是他早年的助手李斯廷，一八四七年，李斯廷把这门学问正式命名为拓扑学，词根是希腊语的位置。从莱布尼茨的一封信到这个命名，隔了一百六十八年。一门学科的出生证明往往就是这样，署名的不止一个人，日期也涂改过好几回。

命名之后，这门学问的纲领又花了几十年才廓清。李斯廷一八四七年的小册子还带着博物馆编目的气味，把图形按径向关系分门别类；莫比乌斯在一八六三年前后研究图形之间的元素关联，提出位置研究应该只关心那些在连续变形下不变的性质。今天教科书里那个标准定义，图形在橡皮膜意义上等价，随时可以变形重合就算同一个，要到十九世纪末才算定型。回望这段谱系会发现，欧拉当年在七桥论文里做的那个砍削动作，等于把纲领里最难的第一刀提前一百多年砍下去了：他先于所有人知道，扔掉量，剩下的位置关系本身就是数学。有立场地说，后世给莱布尼茨的构想评的功，成色上大半应该记在欧拉这一刀上；构想谁都会有，敢下刀的百年才出一个。

我愿意在这里下一个也许过重的判断：欧拉对数学的最大贡献不是任何一条定理，而是他反复示范的那种砍削的手艺，即判断什么与问题无关。微积分里的近似、数论里的同余、力学里的坐标选择，处处是他扔掉包袱的动作，七桥只是其中最干净利落的一次。学会忽略是比学会计算更难的功夫，因为计算有规则可循，忽略需要眼光。这本书记录的整个拓扑学传统，从某种意义上说就是一部眼光的进化史：先扔距离，再扔大小，再扔形状的平滑与棱角，最后连维数之外的一切都扔掉，看还剩下什么值得保留。

从七桥到万维网

四个点和七条线的学问沉睡了一百多年，十九世纪中叶开始醒过来，而且是在完全不相干的地方接连醒来。一八四七年，基尔霍夫研究电网络，为了解电路方程，把电路抽象成图，证明只需考虑图的一棵生成树，这是图论进入工程的头一枪，今天电路课本里的基尔霍夫定律依旧顶着图论的名字。一八五七年，凯莱研究烷烃同分异构体的计数，数碳原子的连接方式就是数树的数目，化学给图论送来了第二份订单。同一个十年里，哈密顿发明了他的环球游戏，在正十二面体的顶点上找经过每个顶点恰好一次的路，给图论预定了另一类问题的名字。到一九三六年，匈牙利数学家柯尼希写出第一部图论专著《有限图与无限图的理论》，这门捡自散步问题的学问才算有了自己的院墙。

院墙立好之后，最响的炮声来自四色问题。一八五二年，伦敦的年轻毕业生弗朗西斯·格思里给英国地图着色时发现四种颜色似乎总是够用，他哥哥把问题转给德摩根，德摩根又告诉汉密尔顿，问题从此在数学界流浪。它本质上是个图论问题：把区域缩成点、相邻关系变成边，问这张图的对偶最多需要几种颜色。一八七九年肯普的著名错解骗过同行十一年，一八九〇年希伍德拆穿它，顺手证明了五色定理，并把问题推广到所有曲面上。真正的终结要等到一九七六年，阿佩尔和哈肯在伊利诺伊大学用计算机检验了一千九百多个构形的可约性，机器跑了一千两百个小时，宣布四色成立。这是历史上第一个离不开计算机的大定理，引发了关于证明本质的持久争论，也顺手催生了后来这个系列的另一批故事。一九九五年罗伯逊等人给出精简版，但性质未变。

凯莱那一头的故事也值得单独讲讲，因为它演示了抽象的复利。一八五七年他为了数烷烃同分异构体的数目，系统研究树的计数，发展出生成函数的工具。化学家在实验室里一个一个分离新化合物，数学家在纸上提前数出了它们的总数：丁烷两种，戊烷三种，己烷五种，后来每一级都对上。图论从此在化学里落户，分子的骨架图成了化学家的第二语言，到了二十世纪末，化学文摘社登记的化合物数以千万计，全靠图编码检索。再往后，二〇〇一年，佩