圣彼得堡的天才少年

第 1 章 圣彼得堡的天才少年

你有没有想过这样一个问题：世界上那么多厉害的人，为什么我们要专门挑一个叫康托罗维奇的人，花一整本书来认识他？

这其实是一个好问题。因为读一个人一生的故事，需要花不少时间和耐心。如果这个人没什么特别，那就不值得。但康托罗维奇确实有点不一样。他做的事情，悄悄改变了我们今天出门坐火车、工厂里切钢板、商店里摆货的方式。他拿过诺贝尔奖，这可是全世界给经济学家的最高荣誉。可他最早出名，靠的却是给一块胶合板"算最佳切法"这样的小问题。一个看起来跟经济学八竿子打不着的小问题，最后居然让他成为了"线性规划之父"，还顺手拿到了诺贝尔经济学奖。

这种从小问题撬开大世界的过程，本身就特别值得讲给小朋友听。因为它会让我们看到，一个普通孩子只要保持住一种"想知道得更多"的好奇心，长大以后完全有可能做出很厉害的事。康托罗维奇不是什么天才从天而降的故事，他只是一个从小对"如何把事情做得更好"着迷的小孩，只不过他把这个爱好坚持了一辈子。

这一章，我们就把时间拨回到一百多年前的圣彼得堡，看看这位数学小神童是怎么长大的。

一、1912 年，圣彼得堡的一个医生家庭

故事要从 1912 年 1 月 19 日讲起。这一天，沙皇统治下的圣彼得堡城里，一个小男婴在一户人家的房子里呱呱落地。这个男婴就是康托罗维奇。他的父亲叫康托罗维奇，是一位受人尊敬的医生，专门给小孩子看病；母亲名叫佩斯基娜，也受过良好的教育，在家里教小康托罗维奇认字读书。

那个时候的圣彼得堡，是整个俄罗斯帝国的文化心脏。涅瓦大街上马车嗒嗒走过，冬宫和夏宫遥遥相对，陀思妥耶夫斯基刚刚写完《卡拉马佐夫兄弟》，列宾还在画他的巨幅油画。城市里到处都是剧场、书店、博物馆，还有数不清的科学家和艺术家聚在咖啡馆里高谈阔论。

小康托罗维奇就出生在这样一座到处都飘着书香的城市里。

不过，1912 年的俄罗斯并不是一个安稳的地方。表面上看，沙皇的统治还在继续，城市繁华依旧，可在那些繁华背后，老百姓的日子并不好过。沙皇的警察可以随便抓人，工人每天要工作十几个小时，穷人家的孩子大多上不起学。康托罗维奇家虽然不是大富翁，但作为医生家庭，他们有足够的书，有温暖的屋子，还有一个能陪他玩的哥哥。父亲平时工作很忙，但只要一有空，就会把孩子们抱在膝盖上，给他们讲各种各样奇怪的小故事，比如人为什么会打喷嚏，影子为什么会变长，金鱼为什么会眨眼睛。

小康托罗维奇从小就对这些"为什么"非常着迷。

他的哥哥后来回忆说，小康托罗维奇刚刚学会走路没多久，就喜欢把家里的东西翻来翻去。妈妈把碗碟摆进橱柜，他就会踮起脚尖去够；爸爸把听诊器挂在墙上，他也会想办法把它弄下来。一开始大人们以为他只是调皮，后来才发现，他不是在玩，他是在研究。他会把听诊器两头都塞进耳朵里，看看到底会听到什么声音；他会把妈妈的毛线团拆开，看长长的线是怎么绕成团的；他甚至会趴在地上，用手指量桌子腿有多长，然后问他哥哥："哥哥，为什么这四只腿都一样长，桌子就不会倒？"

这种对世界天然的好奇心，是康托罗维奇后来能成为大数学家的第一块基石。

不过，光有好奇心还不够。一个孩子能不能把好奇心变成真本事，跟他周围有没有书、有没有大人引导，有着非常大的关系。康托罗维奇是幸运的，因为他出生在一个书香之家。父亲的书房里有整整一面墙的书柜，里面装满了医学书、地理书、历史书，还有不少文学名著。母亲虽然不是老师，但她每天晚上都会给小康托罗维奇讲故事，从《鲁滨逊漂流记》讲到《格列佛游记》，从希腊神话讲到俄罗斯民间传说。

小康托罗维奇最迷恋的，是那些数字的故事。

他 4 岁的时候，就能从 1 数到 100 不会出错。5 岁的时候，他已经会做简单的加减法。邻居们听说以后都跑来围观，有人故意考他："6 加 7 等于多少？"小康托罗维奇歪着小脑袋想了两秒钟，然后很认真地说："13。"围观的大人们哈哈大笑，母亲却在一旁微微笑着，因为她知道，这孩子不是在"背答案"，他是在真的算。

5 岁那年秋天发生了一件事，让父亲第一次意识到，这个孩子可能在数学上有特别的天赋。那天傍晚，父亲下班回家，看见小康托罗维奇蹲在地板上，用小火柴棒摆图形。他没有像别的孩子那样摆成房子或者小船，而是摆成了一个又一个三角形。小小的火柴棒在他手里像有了魔法一样，搭出了大大小小十几个三角形，整整齐齐地排成一片。

父亲蹲下来问他："宝贝，你这是在搭什么呀？"

小康托罗维奇头也没抬，眼睛还盯着火柴棒说："我在算，用 3 根火柴可以搭 1 个三角形，用 5 根可以搭 2 个，用 7 根可以搭 3 个……那要用多少根，才能搭 10 个三角形呢？"

父亲愣了一下。一个 5 岁的孩子，居然已经在想"找规律"这种事了。父亲没有直接告诉他答案，而是坐下来，陪他一根一根地数。后来他们一起发现，原来每增加 1 个三角形，只需要再添 2 根火柴。这个规律被小康托罗维奇自己总结成了一句话："爸爸，我知道了！搭三角形的火柴，每多一个就要多 2 根！"

这个"每多一个就多 2 根"的规律，其实就是后来大人们常说的"等差数列"。在大人眼里这是常识，可对一个 5 岁的孩子来说，能自己发现一个规律，并且用准确的语言把它说出来，是非常了不起的事情。

父亲后来在自己的日记里写道："今天我发现，我的儿子不是一般地聪明。他不只是在玩，他是在思考。"

这种"不只是在玩，是在思考"的状态，后来一直跟着康托罗维奇，从 5 岁到 15 岁，从 15 岁到 25 岁，从 25 岁到 80 岁。

二、6 岁时的"蜡烛几何实验"：在玩耍中诞生的空间感

小康托罗维奇 6 岁那年的冬天，圣彼得堡下了一场非常大的雪。

鹅毛大雪整整下了三天，整个城市变成了白茫茫一片。涅瓦河结了厚厚的冰，孩子们可以跑到河面上去滑冰。父亲怕他冻着，不让他出门，他就只好闷在家里。家里的玩具玩腻了，他就把目光转向了餐桌上的蜡烛。

那时候的电灯还不是很普遍，圣彼得堡的很多家庭一到晚上就点蜡烛。康托罗维奇家有一根用了一半的红蜡烛，长长的，被妈妈插在烛台上。

小康托罗维奇盯着这根蜡烛看了好久。他突然问妈妈："为什么这根蜡烛这么长？"

妈妈笑着说："因为它还没烧完呀。"

小康托罗维奇又问："那它原来有多长？"

妈妈说："妈妈也不知道，可能跟你胳膊差不多长吧。"

这句话让小康托罗维奇的小脑袋开始转动起来。他伸开自己的小胳膊，比划了一下，又看了看蜡烛。然后他做了一个让妈妈都吃惊的举动：他从抽屉里找出几根短蜡烛——那是家里备用的——把它们一根一根摆在桌子上，摆成了一个长方形。

"妈妈你看，"他指着那几根蜡烛说，"这个长方形是用 4 根蜡烛摆出来的，每个角都是直直的。"

妈妈蹲下来看了看，点点头说："对，是长方形。"

小康托罗维奇又从盒子里拿出 3 根蜡烛，把它们摆成三角形。然后他歪着脑袋问："妈妈，三角形和长方形，哪个更稳？"

妈妈想了想说："三角形吧，三角形不管怎么放都不会倒。"

小康托罗维奇点了点头。他又开始摆，这次他摆了四根蜡烛，搭成了一个高高的、细细的金字塔形——也就是一个四面体，每一面都是一个三角形。他小心翼翼地把最上面那根蜡烛放上去，蜡烛晃了一下，但没倒。

"妈妈你看，"他兴奋地说，"它站住了！"

这次轮到妈妈惊讶了。一个 6 岁的孩子，居然会用几根蜡烛自己琢磨出"三角形稳定"这件事。要知道，这种空间想象能力，可是后来几何学里非常重要的基本功。

那天晚上，爸爸下班回来，听妈妈说起这件事，也来了兴致。他拿出一张大白纸，在纸上画了三角形、长方形、五边形、六边形，然后问小康托罗维奇："宝贝，你觉得用同样的根数，搭哪种形状最稳？"

小康托罗维奇盯着图看了半天，最后说："三角形最稳，因为它有三个边撑着。"

爸爸又问："那为什么正方形也是四条边撑着，它就比不上三角形稳呢？"

小康托罗维奇眨巴眨巴眼睛，这个问题好像把他难住了。他低下头想了好一会儿，然后抬起头说："因为正方形的角是直的，三角形的角是斜的，斜的会用力。"

爸爸哈哈大笑起来。这个回答虽然不太准确，但说明小康托罗维奇已经在用"力"和"形状"的关系来思考问题了，这已经比同龄的孩子领先了不止一步。

爸爸后来给他买了一盒专门的小木块，里面有三角形、长方形、半圆形，还有圆柱体。从那以后，康托罗维奇每天放学回家第一件事，就是趴在地上玩这些木块。他会把它们叠成高塔，会把它们排成长长的火车，会把它们藏在沙发底下，然后想象自己是一个工程师，要用这些木块盖一座城堡。

这种"在玩耍中探索空间"的能力，后来在康托罗维奇研究数学的时候发挥了巨大的作用。空间想象能力是数学里非常重要的一种能力，很多伟大的几何学家，都是从小喜欢玩积木、玩沙子、玩黏土的孩子。

不过，康托罗维奇的父亲是一个很有远见的人。他虽然发现儿子有数学天赋，但并没有急着让他去学什么高深的知识。父亲觉得，6 岁的孩子，最重要的不是学多少，而是保持住好奇心。所以他只做了一件事：每天陪小康托罗维奇玩 15 分钟的"数学游戏"。

这些游戏很简单。有时候是数台阶，从一楼到二楼一共多少级；有时候是分糖果，10 颗糖分给 3 个人，怎么分才公平；有时候是猜时间，看一眼钟表，猜现在是几点几分。父亲从来不直接告诉小康托罗维奇答案，而是引导他自己去想，自己去算。

这种"陪孩子玩数学"的习惯，后来被康托罗维奇自己反复提起。他说，他之所以后来一辈子都喜欢数学，跟父亲从小陪他玩的这些小游戏有非常大的关系。

三、中学时代：刷题狂魔的诞生

1919 年，康托罗维奇 7 岁，进入了圣彼得堡的一所普通小学。

那时候的俄罗斯刚刚经历了十月革命，整个国家乱成一团。学校里的老师经常换，教室里的桌椅也不够，有些孩子甚至要站着上课。可小康托罗维奇没有抱怨这些，他觉得能坐在教室里听老师讲课，已经是一件非常幸福的事了。

让他感到兴奋的是，学校里有图书馆。

圣彼得堡的小学图书馆虽然不大，但里面有不少有意思的数学书和科普书。小康托罗维奇每天放学后都不急着回家，他会先去图书馆，借一本数学故事书，然后坐在图书馆的角落里，安静地读上半个小时。

他读的第一本数学书叫《趣味数学》，这本书里有很多奇怪的小问题，比如"一只青蛙白天爬 5 米，晚上滑下 3 米，井有 10 米深，它几天能爬出来"；比如"用 1、2、3、4、5、6、7、8、9 这九个数字，怎么排成一个算式，让它正好等于 100"。小康托罗维奇被这些题目深深吸引住了。他发现自己一做起题来就忘了时间，忘了吃饭，连妈妈喊他回家都听不见。

有一次，妈妈去图书馆找他，看见他趴在桌子上，面前摆着一张写满了数字和算式的草稿纸。妈妈悄悄凑过去一看，发现他正在算一道题：把 1 到 9 这九个数字分成两组，一组加起来等于另一组，怎么分？

妈妈不忍心打扰他，就站在旁边看着。等了足足有 20 分钟，康托罗维奇才突然抬起头，眼睛亮亮地说："妈妈，我算出来了！1 加 5 加 9 等于 15，2 加 4 加 6 加 3 等于 15！"

妈妈开心地抱住他，亲了亲他的额头。

从那以后，康托罗维奇就成了同学们眼中的"刷题狂魔"。他每天回家第一件事就是做数学题，第二件事还是做数学题，第三件事……还是做数学题。他的作业本很快就用完了，妈妈只好给他买新本子。他一个月能用掉三四个本子，每个本子都写得密密麻麻，连边边角角都写满了公式和算式。

他哥哥后来开玩笑说："我弟弟的脑子里大概装了一台机器，只要给它喂题目，它就能自动吐出答案。"

其实不是机器，是康托罗维奇从小养成的习惯——每做一道题，他都会问自己三个问题：这道题在考什么？我还能用别的方法做出来吗？这道题背后的道理是什么？

这三个问题，看起来简单，其实非常厉害。很多孩子做数学题，仅仅是把答案算出来就完事了。可康托罗维奇不，他总想再多走一步，再多看一眼。这种"多看一眼"的习惯，让他对数学的理解越来越深。

不过，光会做题还不够。康托罗维奇真正让老师们吃惊的，是 1925 年秋天发生的那件事。

那年康托罗维奇 13 岁，正在读中学七年级（相当于今天的初中二年级）。教他们数学的老师叫伊万诺夫，是个戴眼镜的中年人，平时讲课很严肃，但非常喜欢给学生们出难题。

那天放学前，伊万诺夫老师在黑板上写了一道题：

"一个长方形的长是宽的 2 倍，如果把它的长减少 3 厘米，把它的宽增加 3 厘米，新长方形的面积正好和原来的一样。请问原来的长方形长和宽各是多少？"

伊万诺夫老师说："这道题比较难，同学们可以回去想一想，下周一交。"

同学们一边收拾书包一边议论，大多数人觉得这道题简直是不可能完成的任务。还有人小声抱怨："老师这道题是不是超纲了呀？"

可小康托罗维奇没有抱怨。他盯着黑板上的那道题，眼睛里闪着光。

那天晚上回到家，康托罗维奇没有像往常一样先去玩一会儿再吃饭。他一进门就冲进自己的房间，把书包往床上一扔，趴在桌上开始算。

妈妈喊他吃饭，他说："妈妈再等等，我算完这道题就来！"

可是这道题比妈妈想的要难得多。一开始康托罗维奇用的是最直接的方法：设宽是 x 厘米，那么长就是 2x 厘米，原来的面积就是 $2x \cdot x = 2x^2$。长减少 3 厘米，新长就是 $2x - 3$；宽增加 3 厘米，新宽就是 $x + 3$，新面积就是 $(2x - 3)(x + 3)$。

他把新面积展开：$(2x - 3)(x + 3) = 2x^2 + 6x - 3x - 9 = 2x^2 + 3x - 9$。

原来面积是 $2x^2$，新面积也是 $2x^2$，所以 $2x^2 + 3x - 9 = 2x^2$，也就是 $3x - 9 = 0$，所以 $x = 3$。

"原来长是 6 厘米，宽是 3 厘米！"康托罗维奇兴奋地喊道，"我做出来了！"

他看了一眼挂钟，已经是晚上 11 点多了。妈妈催了他三次，他才终于坐到餐桌前。可他一边吃饭，一边还在小声嘀咕："这道题还有别的做法吗？"

妈妈笑着说："你连饭都吃不安稳了。"

康托罗维奇不好意思地笑了笑，把碗里最后一口饭扒完，又跑回房间去了。

他重新拿出一张草稿纸，尝试用另一种方法来解这道题。他想：原来长方形和新长方形面积一样，那我们可以反过来想——把原来的长方形"切一块"补到新的长方形里，应该正好能补满。

他在纸上画了一个长方形，长 6 厘米，宽 3 厘米。然后在旁边又画了一个长方形，长 3 厘米（也就是 6-3），宽 6 厘米（也就是 3+3）。他发现这两个长方形的面积果然一样！

他高兴地在旁边写："第二种方法：用画图法。原来长方形的长减少 3 厘米，长方形的右边就少了一块长方形，这块长方形的长是 6 厘米，宽是 3 厘米。同时原来长方形的宽增加 3 厘米，长方形的上面就多了一块长方形，这块长方形的长是 3 厘米，宽是 3 厘米。如果要让新长方形和原来一样大，那减少的面积就要等于增加的面积，也就是 $6 \times 3 = 3 \times 3$？不对不对，应该是 $6 \times 3 = 3 \times 6$？等等，我再想想……"

他算了好久，发现用画图法绕来绕去反而更麻烦。于是他回到第一种方法，把第一种方法的每一步都工工整整地抄在一张干净的纸上，准备第二天交给老师。

第二天是星期天，康托罗维奇破天荒地睡了懒觉，一直睡到上午 10 点。他醒来后第一件事就是拿出昨天写好的作业又看了一遍，然后才心满意足地去吃早饭。

星期一那天，伊万诺夫老师收上了作业。班里 30 个同学，只有 3 个人做出来了，其中一个人就是康托罗维奇。而且康托罗维奇的解法最简洁、最清楚，伊万诺夫老师在课堂上还专门表扬了他。

老师在全班同学面前说："康托罗维奇的解法非常漂亮，他没有用复杂的方程，只用最基本的代数，就把这道题解出来了。而且他的解法有一种'刚刚好'的感觉，没有任何多余的步骤。这种'刚刚好'的本事，是数学里非常珍贵的品质。"

小康托罗维奇坐在座位上，脸红红的，但心里乐开了花。

这次"一晚上解出难题"的经历，给了康托罗维奇非常大的信心。从那以后，他开始有意识地找一些更难的题目来做。他不再满足于课本上的练习题，他开始到处找各种各样的数学书，借同学的，找老师的，去图书馆借的，他都找来读。

到他 14 岁那年，他已经把当时苏联中学里能找到的所有数学课外书都读完了。他甚至开始自学大学数学的部分内容。一个 14 岁的孩子，在读大学数学，这件事听起来有点不可思议，但在康托罗维奇身上，却显得自然而然。

四、14 岁考进列宁格勒大学：与"高手过招"的快乐

1926 年，康托罗维奇 14 岁。这一年，发生了一件让整个家族都沸腾的大事——他考上了列宁格勒大学数学系。

要知道，列宁格勒大学（也就是原来的圣彼得堡大学，后来改过几次名字）可不是一般的学校。这所学校是俄罗斯最古老的大学之一，1724 年由彼得大帝亲自创办，培养出了罗巴切夫斯基、门捷列夫、巴甫洛夫等数不清的科学巨匠。能进这所大学读书，是很多俄罗斯年轻人梦寐以求的事情。

可康托罗维奇那年才 14 岁。他是怎么考进去的？

事情是这样的：康托罗维奇在中学里已经把数学课本翻来覆去学了好多遍，数学老师已经没办法再教他更多东西了。有一天，数学老师把康托罗维奇叫到办公室，语重心长地说："孩子，你的数学水平已经超过我了。你应该去考大学。"

康托罗维奇瞪大了眼睛："大学？我才 14 岁呢！"

数学老师说："年龄不是问题。你要是真想去，我可以帮你联系大学的招生办。"

就这样，康托罗维奇在数学老师的帮助下，参加了列宁格勒大学的入学考试。

考试那天，监考老师看到一个瘦瘦小小的男孩走进来，还以为是哪个大学生带来的弟弟。一问才知道，这孩子就是来考试的。监考老师们都笑了起来，觉得不可思议。但既然来了，就要认真考。

那天的数学试卷比高考还要难，一共 5 道大题，每道 20 分。监考老师给康托罗维奇发了卷子，然后坐在旁边观察他。

康托罗维奇接过卷子，先从头到尾看了一遍，然后拿出一支铅笔，开始在草稿纸上算。他的动作非常稳，没有一点紧张。监考老师注意到，他做每一道题之前都会先想一会儿，然后再下笔。这种"想清楚再下笔"的习惯，是很多大数学家共同的特点。

两个小时后，康托罗维奇交了卷。监考老师当场批改，发现他 5 道题全部答对，而且解法非常巧妙。当天晚上，这件事就在大学的老师们中间传开了。数学系的系主任亲自跑来看了看康托罗维奇的试卷，连声说："这孩子是块好材料！"

于是，康托罗维奇就这样成了列宁格勒大学数学系年纪最小的学生。他那年 14 岁，班上其他同学大多 17、18 岁，年龄差距不算太大，但知识水平的差距可就大了。

一开始，康托罗维奇还担心自己年龄小，会被大同学欺负。可实际情况比他想象的好得多。班上的大同学们都很照顾这个小弟弟，有什么不懂的地方，他们还会反过来请教康托罗维奇。因为大家很快就发现，这个 14 岁的小弟弟，数学水平其实已经超过了他们很多人。

康托罗维奇在大学里如鱼得水。这里的图书馆比中学图书馆大得多，里面的数学书堆得像小山一样；他终于可以听到真正的大数学家讲课，那些老师讲的内容比中学里深奥多了；他还遇到了很多跟他一样对数学着迷的同学，大家可以一起讨论问题，一起争论，一起想出新的解法。

这种"和高手过招"的快乐，是康托罗维奇在中学里从来没有体验过的。他后来