重逢一本古书
第 1 章：重逢一本古书
一本没有作者名字的书,一本连哪一年写成都不太确定的书,一本穿越了两千多年却仍然能和你家孩子的小学数学课本对得上话的书。这就是《九章算术》。它不是一本供在玻璃柜里供人仰望的"圣物",而更像是一张藏在抽屉最底层、已经被翻得起毛边的旧算草纸,上面是某个不知名的汉代县吏或私塾先生,在油灯下为学生抄录下来的解题步骤。把它翻开,你会发现两件事:第一,里头写的数学,大部分你都学过;第二,它给出的解题姿势,和你在学校里被训练出来的姿势,有时候很不一样。
这本书到底是怎么来的?它为什么能活两千年?今天翻开它到底是为了什么?这就是本章要回答的全部问题。
一本没有"作者"的书
中文世界里,书通常有一个名字挂在封面下方,告诉你这是谁写的。比如《梦溪笔谈》的作者是沈括,《齐民要术》的作者是贾思勰,作者本身就是这本书的"印章"。可是《九章算术》没有。它的扉页上写不出一个名字。
这倒不是古代中国人不重视署名,而是这本书的诞生方式本身就排斥署名。它不是某位数学家坐在书房里一挥而就的"专著",而是一部"集体创作,长期累积,逐步定型"的实用手册。研究中国数学史的学者一般认为,它的素材最早可以追溯到先秦时期,有些题目可能和战国时代的"九九乘法表"以及各种田亩、粮税计算的口诀一样古老;到了西汉中后期,这些散落在各地官员、学者手中的算法被汇编成一份初步的"九章"雏形;再经过一两百年的传抄、增补、校订,到了东汉(公元 1 世纪左右),才定型为我们今天所看到的样子。
定型过程里有一个人值得一提,他叫刘徽——不过要说明,刘徽不是《九章算术》的作者,而是它最伟大的"读者"和注释者。刘徽在魏晋之际给《九章算术》写了详细的注疏,在注疏里他做了一件了不起的事:他不满足于"按步骤算",而是为每一个公式追问"为什么对"。他的许多追问,把原本只是"经验配方"的算法,推到了"可以讲清楚道理"的高度。也正因为有刘徽的注,《九章算术》才真正活了下来;否则它极可能和其他许多汉代数学书一样,早早湮没在兵火和蠹虫里。
后来还有一位关键人物,唐代的李淳风。他奉朝廷之命重新整理《九章算术》,选定一个版本作为"标准本"流传后世。今天我们能看到的《九章算术》正文,基本上就是李淳风当年校定的样子。
所以如果有人问你"《九章算术》的作者是谁",最诚实的回答是:它没有单一作者,它是一代又一代不知名的算学者,在解决实际问题的过程中累积起来的集体智慧。你可以说它的"作者"是秦汉的几百位无名官吏、私塾先生、田亩丈量员、仓库管理员。这种"无名氏"的气质,反而让这本书格外接近今天我们所说的"开源软件"——它不归属于某一个人,而属于所有用得着它的人。
一座九层的算学大厦
在开始讲《九章》的具体内容之前,有必要先把整本书的"骨架"摊开,让你一眼看到全貌。《九章算术》顾名思义,共有九章,每一章处理一类实际计算问题,按由易到难的顺序排列。下面我用通俗的方式把九章依次说一遍,你可以把它当作全书的"导航图"。
第一章叫方田。"方田"就是矩形的田地。这一章讲的是各种形状地块的面积算法——长方形、三角形、梯形、圆、弓形,以及各种分数的四则运算。它解决的第一个问题其实就是"你家那块地到底有多大"。
第二章叫粟米。"粟米"说的是粮食交换。这一章研究的是各种粮食(粟、稻、麦、麻等)之间的换算比例,本质上是"比例"问题。它处理的场景是"我有十斗粟,想换成五斗稻,应该怎么折算"。这一章里藏着今天小学数学里"比和比例"的原始形态。
第三章叫衰分。"衰分"的意思是"按等级递减地分配"。比如一共有 100 个人要分 100 两银子,排第一名的分多少,排第二名的分多少,以此类推,使得后一名总是前一名的一个固定比例。这一章的核心是"等差分配"和"等比分配",跟今天"按比例分配"完全是一回事。
第四章叫少广。"少广"的意思是"由少求广",也就是从已知的一部分还原出整体。这一章讲的是"开方法",也就是求平方根和立方根。汉代的数学家已经能笔算开平方和开立方,方法和我们今天在中学里学到的"长除式开方"异曲同工。
第五章叫商功。"商功"是工程计算。这一章处理的是各种立体形状的体积——长方体、棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、圆台,以及修筑堤坝、开挖沟渠所需的土方计算。它服务的对象是国家的大型工程,比如修城墙、建粮仓、挖运河。
第六章叫均输。"均输"是汉代一种赋税运输制度。这一章解决的是"按各地区人口、路途远近,公平分摊运输任务"的问题。它实际上是"加权平均分配"的一种实际应用,和今天统计学里的"加权平均"是同一类思路。
第七章叫盈不足。这一章处理的是"盈亏问题"——比如一群人分桃子,如果每人分 5 个就多出来 3 个,如果每人分 7 个就差 2 个,问有多少人、多少桃子。这种题目是今天小学奥数里最常见的题型之一,而《九章》给出的"盈不足术"是一种非常巧妙的通用解法,后世阿拉伯人把它叫做"契丹算法",再传到了欧洲。
第八章叫方程。这里的"方程"不是指我们中学学的 x、y、z 的代数方程,而是指一种用矩阵方式列出的联立线性方程组。《九章》里给出的解法,本质上和今天线性代数里的高斯消元法是一致的,只是没有使用字母符号。这件事的意义怎么强调都不过分——它比欧洲同类方法早了将近两千年。
第九章叫勾股。"勾股"就是直角三角形。这一章给出了著名的勾股定理:"勾三股四弦五",以及一般情形 $a^2 + b^2 = c^2$。还给出了测量山高、河宽的具体方法,以及一些利用相似三角形求解的题目。这一章在《九章》里位置最后,但难度和地位最高,后世甚至把整本书叫"九章",就是为了把这一章捧在压轴的位置上。
把这九章连起来看,你会发现一个清晰的"实用性阶梯":先解决一个人最日常的需求(算地、算粮),然后处理稍复杂的分配与开方,再上升到工程和赋税,最后落脚到测量与几何。整本书的编排逻辑,是"从生活到工程,从简单到抽象",它不是按数学内部的结构来组织的,而是按"一个基层官员可能遇到的计算任务"来组织的。这正是它和古希腊数学的最大区别——希腊人追求的是"为什么",中国人更关心"怎么做"。两种姿态各有各的妙处,后面我们会反复回到这个对比上。
一张地图:它站在哪儿
讲完九章的骨架,你可能会问:这本书在中国数学史上算什么位置?在世界数学的版图上又算什么位置?这一节就把这两个问题一次性回答清楚。
先看中国数学史这条线。在《九章算术》之前,中国已经有一些零散的数学知识,比如甲骨文里出现的数字、《周礼》里提到的"九数"(也就是九类数学内容,可能就是《九章》的远祖)。但这些都只是"片段",不是"系统"。《九章算术》是中国第一部有完整结构、有题目、有解法的数学著作,它之后的两千年中国数学,几乎所有的"话题"——分数、比例、开方、方程、勾股——都可以在这本书里找到原型。换一个说法:《九章算术》是中国数学的"母语"。后世所有重要的中国数学著作,无论是祖冲之的圆周率、秦九韶的《数书九章》、还是明代的算盘口诀,本质上都是在给《九章》做"升级包"。
下面这张时间轴,把《九章算术》形成的关键节点以及它在世界数学坐标里的位置一并画出来:
```mermaid flowchart LR A["先秦:零散算术知识<br>(九九表、田亩算法)"] --> B["西汉前期:九章雏形汇编"] B --> C["西汉中后期:增补校订"] C --> D["东汉:定型为九章"] D --> E["魏晋:刘徽作注<br>理论化、证明化"] E --> F["唐代:李淳风校定<br>成为后世通行本"] F --> G["宋元:中国数学高峰<br>(秦九韶、朱世杰等)"] G --> H["明清:传统算学整理<br>(《数理精蕴》等)"] D -.同一时期.-> I["西方:古希腊数学<br>(欧几里得《几何原本》)"] D -.稍晚.-> J["印度:阿耶波多<br>(提出正弦、计算圆周率)"] D -.更晚.-> K["阿拉伯:花拉子米<br>(代数学诞生)"] ```
这张图想说明的是两件事。第一,《九章算术》定型的时候,世界数学舞台上有古希腊的欧几里得在写《几何原本》,但那是另一套完全不同的传统——欧几里得追求公理化、形式化,中国则追求可操作、可计算。第二,中国这套"以算为主"的传统,在世界范围内并不孤单——印度、阿拉伯后来也走上了类似的路——但《九章算术》是其中最早成系统的。
那么,《九章算术》是不是世界上"最早的"算术著作?答案是:不是。古埃及的《莫斯科纸草书》(约公元前 1850 年)就已经有了分数计算;两河流域的苏美尔、巴比伦泥板(公元前 2000 年至公元前 1000 年)上则有更复杂的开方、方程甚至勾股关系。《九章算术》的真正贡献,不在"最早",而在"最系统"。 它第一次把日常所需的全部算术知识,按难易顺序整理成了一部可以拿在手里、照着做题的工具书。这种"系统化",在中国数学史上是开天辟地的,在世界数学史上也是领先的。
讲到这里,你应该明白了《九章算术》的"坐标":它不是孤本,而是中华算法传统的奠基之作;它不是最早的算术著作,而是最早把算术"整理成体系"的著作之一;它不是封闭的——后世两千年的中国数学都在给它做升级,西方的代数学、方程组算法在某些方面也隐隐呼应该书。
回头看:你正在学的那本数学书
接下来要讲的这部分,可能是整本书最让你意外的内容。我要请你拿出家里孩子的小学六年级数学课本(或者你自己回忆一下六年级的内容),翻到任意两章,然后把这两章的内容和《九章算术》里相应的章节对照一下。我敢保证,你会发现"原来两千年的距离没那么远"。
我选两个最直观的对照。
第一个对照:分数的约分与通分。
翻开小学六年级上册,你大概率会看到"分数的约分"和"通分"这两节,后面会跟着大量练习题:把 $\frac{12}{18}$ 约分;把 $\frac{2}{3}$ 和 $\frac{5}{7}$ 通分后再比较大小;把 $\frac{3}{4} + \frac{1}{6}$ 化成同分母再加。这些题目你做起来当然驾轻就熟,因为你已经训练过几百遍了。
可是《九章算术》第一章"方田"的第 6 题到第 10 题,处理的就是同类问题。原题大致是这样的:"今有田广 12 步,从(纵) 18 步。问为田几何?"——求这块地的面积。第一步:把 12 和 18 都除以 6,化成"广 2 步,从 3 步"。第二步:2 × 3 = 6,得田 6 亩。这里的"把 12 和 18 都除以 6",就是约分;而"先把分母化成一样再加"的通分,在"方田"的其他题目里也反复出现,只是用了一两句话概括:"术曰:以母互乘子,并以为实,母相乘为法。"
翻译成现代语言就是:用分母互乘分子,相加得新分子;分母相乘得新分母。 这和今天老师教你的通分算法完全是一个东西。区别只在于:今天的课本给你的是"为什么这样算"的代数解释(最小公倍数、公因数、最大公因数),而《九章》给你的是"按这个步骤做就能做对"的操作流程。两种教法各有所长,但目的、答案、难度,完全一样。
第二个对照:圆柱体的体积。
再翻到六年级下册的"圆柱的体积"。课本会告诉你:圆柱的体积等于"底面积乘以高",公式是 $V = \pi r^2 h$。旁边配了推导图,告诉你圆柱是怎么从长方体"切、拼、变"过来的。然后是练习题:已知底面半径和高,求体积;已知体积和底面半径,求高。
《九章算术》第五章"商功"里的"圆囷(circular granary)"问题,处理的是完全相同的事情。原题是这样的:"今有圆囷,下周 12 尺,高 12 尺。问积几何?"——一个圆柱形的粮仓,底面周长 12 尺,高 12 尺,问容积多大。它的解法是:用"周三径一"(即 $\pi \approx 3$)把周长化成直径,再求底面积,再乘以高。这套算法和今天 $V = \pi r^2 h$ 的算式几乎可以对得起来——只是少了" $\pi$"这个符号,改用"周三径一"这个近似比;少了 $r^2$ 这个表达式,改用"直径除以二得半径,自乘得积"这种口语化的步骤描述。
更有意思的是后面那句"今有圆窖(circular pit),上周 12 尺,下周 16 尺,深 5 尺。问积几何?"——一个上宽下窄的圆台形地窖,求容积。这个公式今天写成 $V = \frac{1}{3} \pi h (R^2 + Rr + r^2)$,而《九章》的算法,虽然语言不一样,但步骤和今天一致:分别求上下两个圆面积,加起来,乘以高,再除以 3。两千年前的圆台体积公式,和今天的代数公式是同一个东西。
我举这两个例子不是为了证明"古人比我们聪明",而是想让你在翻开《九章算术》的瞬间,放下一种不必要的敬畏。这本书里写的数学,不是博物馆里的化石,而是你手里那本六年级数学书的"祖本"。 你正在学的东西,绝大部分两千年就已经有了;你正在用的"约分、通分、分数加减、圆柱体积",《九章》里全都有,而且解法步骤几乎一致。
差别在哪儿?差别在"为什么这样算"这一层。学校给你的是"为什么"(理论、证明、概念),《九章》给你的是"怎么做"(步骤、配方、操作)。前者让你理解,后者让你上手。这两种东西并不冲突,一个好的数学学习者,既需要懂"为什么",也需要熟"怎么做"。读《九章算术》的过程,是在补强你的"怎么做"这一层,同时也能帮你理解,原来数学不仅仅是公式和定理,也是一种"解决问题的姿态"。
怎么读一本两千年前的数学书
把上面的事实摆出来,有些读者可能已经跃跃欲试,想立刻找一本《九章算术》来读。但请你先停一停,因为这本书不好读。如果你直接拿起一本影印的古籍版《九章算术》,你大概率会在第一页就放弃:竖排繁体、无标点、断句靠读者自己猜、字词用法和今天差别很大,光是"术曰"两个字就够你琢磨半天。
所以在真正翻开这本书之前,有必要简单聊聊"怎么读"。这不是技术性的版本校勘建议(那是专业研究者的事),而是给初学者一个"心态准备"。
第一,把《九章算术》当作"习题集"来读,不要当作"理论书"。这本书从来不打算告诉你"为什么 2 × 3 = 6",它只是告诉你"当你想做这种题,按这个顺序做"。所以读的时候,最自然的姿势是拿一支笔、一张纸,边读边算,跟着题目把每一步结果写出来。你会发现,很多题目其实很简单,只要你把那些古代数字翻译成今天的阿拉伯数字、把那些"步""尺""斗"翻译成今天熟悉的单位,算起来毫不费力。
第二,接受"不精确"的语言。《九章》里的"周三径一"是 $\pi \approx 3$,显然不精确;一些公式是用"约之""合之"这种口语词带过的,没有给出代数推导。读的时候不要去追问"为什么不用 3.14",而是把它当作"那个年代的最佳近似"接受下来。古代数学的进展,本来就是一步一步逼近精确的;读古书就是在读这种"逼近"的轨迹。
第三,允许自己跳过一些题目。《九章》一共 246 题,每章二十几题,不必从头到尾全做。挑你感兴趣的、和今天知识能对得上的先做(比如方田、商功、勾股这三章最容易和小学中学知识对上),其他的扫一遍知道有这些内容即可。一开始就想着"通读全本",会让你很快失去耐心。
第四,把它当作"对话",不是"背诵"。读《九章》最有意思的部分,不是记住那些公式,而是和古人的"解题思路"对话。你会发现:古人在一些题目上的处理方法,比今天的"标准解法"更巧妙;而在另一些题目上,古人的方法又显得笨拙。这种"巧与拙"的对比,本身就是学习。
心态上,还有一件小事要提醒:不要把《九章算术》神化。 这本书里有错误、有疏漏、有后人补入的内容,也有不少题目其实有更简便的现代解法。它不是"神谕",它是"古人的工作笔记"。你敬佩它,但不必崇拜它。真正好的读法,是把它当成一本"可以批注、可以质疑、可以改错"的活书,而不是供在神龛上的牌位。
一点意外:为什么数学不只是公式
讲到这里,本章的核心问题其实已经回答完了——《九章算术》是一部没有作者、跨越两千年、今天仍然能和你小学数学课本对上话的中华算学奠基之作,它值得每一位初学者翻开,因为它不只是教你"算",还教你"想"。
但我想在结尾前多说一件和数学本身有关的小事。
我见过很多家长和孩子,一提数学就紧张。一紧张,就以为数学是"公式的堆砌"——背下来,套上去,答出来,得分数。背不下来,套不上,就得不了分。这是一种把数学"工具化"的理解。不能说它全错,但它把数学最有趣的那一面挡在了门外。
数学的乐趣,不在"答对",而在"想通"。你把一道看似复杂的题,用几步就拆成你能处理的小问题,这个过程是有快感的;你发现一个看起来毫无关系的题目,其实可以用同一个思路去解决,这种"哦,原来如此"的瞬间是有快感的;你面对一道题尝试三种解法,发现第三种最简洁优雅,这种"返璞归真"也是有快感的。所有这些快感,都不来自"记住公式",而来自"掌握了思考的姿势"。
《九章算术》最大的遗产,恰恰就是这些"姿势"。它不是教你"分数怎么算",而是教你"碰到一道分数题,先想约分再想通分";它不是教你"圆柱体积公式",而是教你"碰到一个立体图形,先想能不能拆成熟悉的形状";它不是教你"方程怎么解",而是教你"碰到多个未知量互相牵扯,先想能不能把它们排成阵列对齐消元"。这些"先想……再想……"的步骤,就是思考的姿势。
两千年前那些不知名的汉代数学家,之所以能留下这么厚的遗产,不是他们比今天的我们更聪明,而是他们愿意花心思把"想问题的方式"整理出来,让它可以传授、可以累积、可以被后人接着改。这件事本身就是一种了不起的文明行为。今天我们翻开《九章算术》,不是在"考古",而是在接上这条思路的来路。
本章小结
本章是整本书的"序章",核心问题是《九章算术》是什么、为什么两千年后仍然值得翻开。
我们首先讲清了它的"出生档案":它不是某位数学家的个人创作,而是从先秦到西汉中后期不断累积、东汉定型的集体成果,刘徽为之作注使之理论化,李淳风为之校定使之流传。然后我们用通俗语言把九章(方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股)依次梳理了一遍,看到它从日常面积、粮食换算,逐步过渡到工程、赋税、测量、几何,构成了一座九层的实用算学大厦。接着我们用一张时间轴,把它放在中国数学史和世界数学史的双重坐标中——它不是最早的算术著作,但它是最早把日常算术系统化的著作之一,是中国数学的"母语",后世两千年都在给它做"升级包"。最后我们用分数约分通分、圆柱体积两个具体例子,把《九章》和今天小学六年级数学课本直接对照,让你看到"两千年的距离没那么远",并讨论了初学者阅读古算经的方法与心态。
读完这一章,你应该能用一段话向朋友说清《九章算术》是什么、为什么重要,并在脑子里画出它在中华数学史时间轴上的位置:先秦的零散知识 → 西汉的雏形汇编 → 东汉的定型 → 刘徽的注疏 → 李淳风的校定 → 后世宋元明高峰。这是一条活了两千多年的线索,而你现在正站在它的入口。
下一章,我们要走进这九章大厦的第一层——方田。那里处理的是"怎么算一块地的