九章其书
第 1 章 九章其书
《九章算术》这个名字，多数人在中学课本里见过一次，然后忘掉。它通常出现在"中国古代数学成就"那一节，配一张模糊的竹简图，旁边写一行注："成书于东汉，汇集了战国至秦汉的数学成果。"这是一句正确的废话。它没告诉你这本书里有 246 道具体题目，没告诉你某道方程比欧洲早了一千五百年，也没告诉你两千年前的某位粮仓管理员，真的拿着一把小竹棍在木盘上算过这道题。
这一章要解决一个更基础的问题：《九章算术》是一部怎样的书？它为什么能在两千年里被反复抄写、注解、修订，今天一个高中生翻开影印本，依然能照着上面的步骤把答案算出来？它不是圣人的语录，不是哲学家的辩论集。它是一本工具手册，被一群没有留下名字的基层官吏反复使用、修订、传承。
我们沿着三条线走。第一条是职业线：古代中国谁在"算"，数学在国家机器里到底做什么用；第二条是文本线：这部书是怎么从"九数"两个字变成今天看到的 246 题的；第三条是工具线：用什么算，怎么算，怎么摆出那些看起来像竖线和横线的小棍子。
一、"算"这门手艺：被忽略的古代职业
现代人提到数学家，脑海里浮起的形象通常是孤独的天才、大学的教授、或者某个深夜对着白板发呆的人。但《九章算术》成书的那个时代，没有这种职业。西汉初年，国家机构里和数字打交道的人，分散在十几种职位里，他们各有名字：上计吏，负责把郡国的户口、田亩、赋税数据汇编成册；掾史，地方官的助手，分管钱粮账目；仓曹，粮仓管理员；市掾，市场交易记录者；算术掾，听起来最直接，但只是众多掾属之一。
这些职位共同构成了一个庞大的"算"的体系。它的规模比今天想象的大得多。西汉平帝元始二年（公元 2 年），朝廷做过一次人口普查，登记了 5959 万多人。为了把这五千多万人按年龄、性别、资产、户籍分类登记，再换算成应缴的赋税、应服的徭役，需要多少人？光长安城里，就有几十家"计簿"机构常年运作。
数学在这种国家机器里没有独立的地位。它嵌在天文、历法、税赋、营造之中。天文学家需要算三角和球面，来预测日月食；历法家需要算回归年和朔望月，来编制年号和月份；税吏需要算田亩和人口，来分摊徭役；营造官需要算体积和勾股，来设计宫殿和水利。每一项业务都需要数学，但数学本身不被当作一门独立的学问。
这种状况在《周礼》里留下了痕迹。《周礼·地官·保氏》提到贵族子弟要学"六艺"，其中的"数"是六艺之一，但不是单独的学科，而是和"礼、乐、射、御、书"并列的通识教育内容。具体到数学知识，《周礼》提到了"九数"这个概念。后世学者（如郑玄）把九数具体解释为方田、粟米、差分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股九个分支，几乎对应了《九章算术》九章的标题。
这意味着先秦时期的国家，已经把数学知识系统化、模块化了，分成了九个应用方向，每个方向对应一种行政需求。方田管田亩测量，粟米管粮食互换的比例，差分管按等级分配物资，少广管已知面积反求边长，商功管工程土方，均输管远程运输的负载平衡，盈不足管盈亏问题，方程管多元线性方程组，勾股管勾股定理及其应用。
这就是《九章算术》成书前，它的知识框架已经在国家机构里存在了几百年。这本书不是一个天才在书斋里构思出来的，它是几代基层官吏在实际问题中反复求解、反复优化的结果。
举一个具体的例子。《九章》第三章"衰分"的第一题是这样的：
> 今有大夫、不更、簪袅、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿。欲以爵次分之，问各得几何？ > 术曰：列置爵数，以五鹿乘而并之，为实。以爵数相加为法。实如法得一。
这道题的意思是：五个爵位不同的贵族一起打猎，得了五头鹿，要按爵位高低分配。大夫、不更、簪袅、上造、公士五个爵位，对应的"爵数"分别是 5、4、3、2、1。算法是：把爵数列出来，把鹿的数量和爵数相乘后加起来做分子，把爵数相加做分母，再按各人的爵数比例分配。
具体计算：$5+4+3+2+1 = 15$，这是"法"。然后把 5 头鹿分别乘以各人的爵数：$5\times5=25$，$5\times4=20$，$5\times3=15$，$5\times2=10$，$5\times1=5$。把这五个结果加起来：$25+20+15+10+5 = 75$。$75 \div 15 = 5$。然后按比例分配：大夫得 $5 \times 5/15 = 5/3$ 头，不更得 $4/3$ 头，簪袅得 1 头，上造得 $2/3$ 头，公士得 $1/3$ 头。
这道题用到的算法，今天叫"按比例分配"，或者更技术性地说，叫"加权平均的反向应用"。它的现实背景非常具体：贵族按等级分配猎物。这种分配方式在战国时期是常见的政治技术，按爵位分配反映了等级秩序的稳定性，比绝对平均分配更被当时的国家机器所偏好。
所以，理解《九章》的第一把钥匙是：不要把它当成一本"数学书"，要把它当成一本"官吏工作手册"。它里面没有定理证明，只有"术曰"（方法是这样的）。每一种术，都是一类工作的标准操作程序。这些操作程序不是凭空设计的，是从真实工作中提炼出来的。
古代中国基层官吏的工作场景，决定了这本书必须是实用的、可操作的、可以被不识字的助手照着做的。所以它的题目给出具体数字（十五步、广十二步），给出具体情境（田地、粮仓、买卖），给出标准答案（术曰）。它不要求读者理解原理，只要求读者照着步骤做出正确答案。
这套逻辑在两千年里几乎是稳定的。直到清末引入西方现代数学教育，《九章》才真正退出了工作场景，成为历史研究的对象。
二、千年累积：从"九数"到《九章》定型本
理解了数学在古代中国是干什么用的，接下来要解决一个文本问题：今天我们看到的《九章算术》，是怎么从《周礼》里的一句"九数"变成 246 道题的？
这个过程跨越了大约一千年，从战国晚期到北宋初年。期间这部书经历了几次定型、几次散佚、几次重编。主要节点可以用下面这张图梳理：
```mermaid flowchart TD A["战国晚期 '九数' 知识体系 散见于各诸侯国实务"] --> B["秦汉之际 文本初步汇编"] B --> C["西汉 张苍 耿寿昌 编订"] C --> D["东汉 定型本 '九章算术'"] D --> E["三国魏 刘徽 注九章算术 263年"] E --> F["唐 李淳风 重新整理 约656年"] F --> G["北宋 贾宪 细草 约1050年"] G --> H["南宋 杨辉 详解 1261年"] H --> I["明清 各种坊刻本及四库全书本"] I --> J["清末以来 现代整理本"] ```
这张图里，每一步的"添加"比看上去更重要。每一次重编，都不是简单的抄写，而是解题方法的更新、题目数量的增减、注解的累积。到南宋杨辉的版本，文本已经和东汉定型本有了不小的差异。
最关键的两个节点是刘徽注和贾宪细草。
刘徽（约 225 年—295 年）是魏晋时期的数学家，他在 263 年为《九章》写了完整的注解。这个注解不是翻译，不是简化，是真正意义上的数学工作。他在注解里给出了"割圆术"，用多边形逼近圆周率，得到了 $\pi \approx 3.1416$；他论证了"以面幂相与"的体积算法，给出了《九章》里没有的推导；他重新解释了一些题目，纠正了东汉定型本里的错误。
更重要的是，刘徽在注解里明确提出了数学证明的概念。他在"方田章"的"以田赋田"一题里写道："乘分之术，当以母相乘为法，子相乘为实。"这是对分数乘法的形式化说明，是原则，不是步骤。这种把"为什么这样做"和"怎样做"区分开来的意识，是数学作为一门学科成熟的标志之一。
贾宪的"细草"比刘徽又晚七百多年，他在 11 世纪中期（多数学者认为在 1045—1050 年之间）为《九章》写了更细致的草算过程。"细草"的意思是"详细的草稿"，就是把每一步计算的中间结果都写下来，让读者能跟着做。这种做法在杨辉的《详解九章算法》里得到继承。杨辉 1261 年的版本，把贾宪的工作、自己的注解、和各种历史版本综合在一起，成了今天学者研究《九章》文本流传的主要依据之一。
这部书在流传过程中曾经非常接近完全消失。隋唐之间的战乱，让许多藏书机构被毁，《九章》的抄本数量大幅减少。唐代国家藏书里，《九章》被归入"算经十书"之一，作为科举明算科的参考书。这意味着有专门的抄写员负责复制这部书，但每次抄写都是重新整理的机会，也可能是引入错误的机会。
到北宋，《九章》已经是古籍了。贾宪的细草是对这部古籍的现代数学解读，杨辉的详解是更全面的现代解读。但南宋以后，传统的筹算数学逐渐被珠算（算盘）取代，《九章》作为实用工具书的价值下降，更多地成为收藏和研究的对象。
清代乾隆年间编纂《四库全书》，《九章》被收入子部·天文算法类。这是清代官方版本，也是后来所有现代整理本的主要底本之一。清代学者戴震（1724—1777）对这部书进行了认真的校勘，他的校勘工作直接影响了《四库》本的质量。
到这里，这本书的"层累形成"过程清楚了：它不是某个人写成的，是几十代人接力完成的。每一代人都在前一代的基础上添加、修改、注解、删减。两千年里它的题目数量从最初的不到 100 题，到定型本的 246 题，再到后来的 260 多题（不同版本略有差异）。它的注解从无到有，从刘徽的注释到李淳风的整理到贾宪的细草到杨辉的详解，越积越厚。到南宋，这部书已经不是一部书，而是几部书的复合体。
但有一点始终没变：它的核心题目，仍然是战国到秦汉基层官吏在工作中真实面对的那些问题。
三、匿名传统：为什么数学著作常常没有作者名
讲到这里，有一个看起来奇怪的现象需要解释：《九章算术》的作者是谁？
答案是：不知道。不仅《九章》不知道，《孙子算经》不知道，《张丘建算经》不知道，《五曹算经》不知道，《缉古算经》也不知道。古代中国的大量数学著作，要么作者不详，要么只有传闻中的名字（比如孙子、张丘建），要么作者是这部书的注解者（如刘徽、杨辉），而不是原作者。
这种现象在古代中国的非文学作品中相当普遍。医学书、农书、天文书、历书，常常也找不到明确的作者。这和诗文、史传的情况形成鲜明对比。司马迁的《史记》、班固的《汉书》、李白的诗、苏轼的词，作者清清楚楚。
为什么数学著作要匿名？这里有几个相互交织的原因。
第一个原因是知识的性质。数学知识在古代是一种"技术性知识"，它不是某个人的思想，而是几代人在实践中摸索出来的优化结果。当你发现一个田亩算法、一个比例分配方法、一个勾股测量方法时，这个方法并不因为你发现了它就成了你的私有财产。它是可以传授的、被验证的、被重复使用的。署名在这种知识传统里没有意义，正如今天我们不会说"勾股定理的发现者"是某个人，但会说"哥德巴赫猜想的提出者"是哥德巴赫。区别在于前者是经过严格证明的定理，后者是未被证明的猜想。
第二个原因是使用者的身份。这本书的主要使用者是基层官吏。他们在工作中使用这些算法，不需要知道是谁发明的，只需要知道怎么用。署名对他们的工作没有帮助，反而可能引起不必要的争议。比如某个官员偏好某种算法，把别的算法贬低为"非正统"，这种争论在基层工作中是干扰。所以这本书在传播过程中，匿名是一种常态。
第三个原因是作者的自我认知。古代中国的知识分子中，从事数学研究的人常常不把数学当作自己的"学术成就"。他们更愿意以经学、史学、文学的成就立足。数学对他们而言是"小道"，是工具，是技术，不是"道"。这种自我认知导致他们很少主动为数学著作署名。
对比一下诗文传统。诗歌是高度个人化的创作，李白的诗就是李白的，不是别的什么人的。署名对诗人来说极其重要，署名即品牌，署名即承认。但数学不是这样。数学是去个人化的，它追求的是普遍适用。
这并不意味着数学家没有个人贡献。刘徽的割圆术、贾宪的"开方作法本原图"、秦九韶的大衍总数术、李冶的"天元术"，这些都是明确的个人成就。但这些成就往往不是在《九章》这种"集体工程"上署名，而是在自己的专著上署名。例如秦九韶的《数书九章》、李冶的《测圆海镜》、朱世杰的《四元玉鉴》，都是署名著作。
所以，《九章》的匿名传统，反映的是一类知识的特殊性质：它是实践性的、集体性的、工具性的。理解这一点，对于理解古代中国数学的整体特征非常关键。
四、算筹：被算盘遮蔽的运算工具
讲《九章》不讲解算筹，就像讲古希腊戏剧不讲剧场。我们今天听到"算"，第一反应是"算盘"——那个木框里装着珠子、靠拨珠子运算的工具。但《九章》成书时没有算盘，也没有珠算。算盘是元末明初才普及的工具，《九章》的体系里完全没有珠算的影子。
汉代基层官吏用什么算？用算筹。
算筹是一组小棍子，通常是竹制、木制、骨制、象牙制，长度大约十几厘米，粗细类似今天的中性笔芯。操作时，把这些小棍子摆在一个平的表面上，可以是专门的"算筹盘"（一个画了格子的木板或金属盘），也可以是一张桌面、一块布。摆出数字，进行运算，得出结果，记录下来，擦掉，再摆下一个数字。
这听起来很简陋，但它的功能强大到可以完成加减乘除、分数运算、开方、解线性方程组。中国古代数学的大部分运算，都建立在这套系统之上。
算筹表示数字的关键技巧是"纵横交错"。具体规则：个位用纵式（竖着摆），十位用横式（横着摆），百位用纵式，千位用横式，以此类推，逢五位交替。
1 到 5 这五个数字用纵式表示，分别摆 1 到 5 根小棍，垂直排列：
```text 1 → | 2 → | | 3 → | | | 4 → | | | | 5 → | | | | | ```
6 到 9 不直接摆 6 到 9 根小棍（在筹算盘上摆六根棍子容易混乱），而是用"上一下五"的规则：上方横摆一根，下方纵摆五根，合起来是六：
```text 6 → ─ | | | | |
7 → ─ | | | | | |
8 → ─ ─ | | | | | |
9 → ─ ─ ─ | | | | | | ```
到了十位，规则反过来，所有数字都用横式。横式的 1 到 5 是横着摆 1 到 5 根，6 到 9 是上方纵摆一根、下方横摆五根：
```text 1 (十位) → ─ 2 (十位) → ═ 3 (十位) → ══ 4 (十位) → ═══ 5 (十位) → ════ 6 (十位) → | ════ 7 (十位) → | ═════ 8 (十位) → | | ═════ 9 (十位) → | | | ═════ ```
为什么这样设计？因为交替使用纵式和横式，可以让不同位数的数字看起来有明显区别，避免读数错误。如果个位是纵、十位也是纵，眼睛不容易分辨 23 和 32。但交替以后，视觉上一眼就能区分。
举几个具体例子。数字 1 用个位纵式的"1"，即一根竖棍。数字 23 是十位 2 横式（两根横棍）、个位 3 纵式（三根竖棍），两个位之间留一点空隙。数字 168 是百位 1 纵式（一根竖棍）、十位 6（上方一横、下面五纵）、个位 8（上方二横、下面五纵）。数字 2024 是千位 2 横式（两根横棍）、百位 0（什么都不摆，但留位置）、十位 2 纵式（两根竖棍）、个位 4 纵式（四根竖棍）。
0 在筹算里不摆任何棍子，但要在对应的位置留出空间。如果某个位置是 0 而下一个位置不是 0，可以用一根空棍表示"这里有个零但不需要摆"，但实际操作中通常直接留空。
用算筹做乘法比较繁琐，需要多层叠放。比如要算 12 × 14，过程大致是：先把被乘数 12 摆在筹算盘上，作为"实"；然后把乘数 14 的每一位（上为 1，下为 4）依次和被乘数相乘，结果按对应位置叠加在"实"上；最后读出最终结果。
具体来说，先把 12 摆在中间位置（个位 2 纵式，十位 1 横式）。然后用 14 的个位 4，乘以 12 的每一位。$4 \times 2 = 8$，把 8 加到个位（个位原是 2，加 8 后是 10，进位 1 到十位）。$4 \times 1 = 4$，把 4 加到十位（十位原是 1，加 4 后是 5，再加进位 1 后是 6）。所以第一层处理后，筹算盘上是 60。
然后用 14 的十位 1（即"十"，相当于乘以 10），乘以 12 的每一位，相当于把 12 左移一位变成 120，然后加到当前结果 60 上。个位贡献 0（不变），十位贡献 2（因为 $10 \times 2 = 20$，左移一位后十位是 2），百位贡献 1（因为 $10 \times 1 = 10$，左移一位后百位是 1）。叠加到 60 上：百位是 1，十位是 $6+2=8$，个位是 0。
最终结果：168。
这种算法的具体步骤在不同历史时期有变化，但基本逻辑一致。读者不需要现在完全掌握操作，但应该理解：用算筹做四则运算是可能的，而且不需要现代意义上的"做表格"或"列竖式"，而是通过棍子的实际摆放和移动来完成。这是一种和现代纸笔运算完全不同的"具身"计算方式。
五、第一题：广十二步，从十四步
了解了算筹和文本背景，我们来亲手算一道《九章算术》的题目。这是方田章的第一题，也是全书的第一题：
> 今有田广十二步，从田十四步。问为田几何？ > 术曰：以广从步数相乘得积步。
题目意思是：有一块田，宽十二步（"广"指宽，"步"是长度单位，约合今 1.3 米），长十四步（"从"指长），问这块田的面积是多少？
术（方法）说的是：把宽和长相乘。
$12 \times 14 = 168$
所以这块田的面积是 168 平方步。
用算筹怎么算？先把"实"（被乘数）12 摆出来：
```text ─ (十位的 1) | | (个位的 2) ```
然后用乘数 14 来乘。先用 14 的个位 4，乘以 12 的每一位。$4 \times 2 = 8$，把 8 加到个位（个位原是 2，加 8 后是 10，进位 1 到十位）。$4 \times 1 = 4$，把 4 加到十位（十位原是 1，加 4 后是 5，再加进位 1 后是 6）。所以第一遍乘法后，盘上是 60：
```text ─ ─ (十位的 6) (个位 0，留空) ```
再用 14 的十位 1（即"十"，相当于乘以 10），乘以 12 的每一位，相当于把 12 左移一位变成 120，然后加到当前结果 60 上。个位是 $0 + 0 = 0$，十位是 $6 + 2 = 8$（因为 $10 \times 2 = 20$，左移一位后十位是 2），百位是 $0 + 1 = 1$（因为 $10 \times 1 = 10$，左移一位后百位是 1）。
最终结果：
```text | (百位的 1) ─ ─ (十位的 8) (个位 0) ```
读出来：168 平方步。
汉代的一亩等于 240 平方步。所以 168 平方步是多少亩？$1