一封来自元朝的邀请函
一封来自元朝的邀请函
小明十岁生日那天，妈妈给了他一个奇怪的礼物——一封用牛皮纸包着的信。信封上没有邮票，没有寄件地址，只用毛笔写着四个大字：小明亲启。
"谁给我写信呀？"小明挠挠头。
他撕开信封，里面是一张微微泛黄的纸，上面画满了奇怪的符号和图案。小明眯起眼睛念出声来：
> 小友台鉴： > > 余乃元朝燕山朱世杰，号松庭，著有《四元玉鉴》一书。今欲借墨宝一封，邀君共赴一场七百年前的数学之约。君若胆识过人、好奇心丰沛，请于烛火下取出纸笔，随余一探方程之妙、四元之奇。 > > 切记：不动手者不入此门。 > > 大元延祐七年（公元1320年） 朱世杰 拜上
信的背面，贴着一张小小的"通关文牒"，上面印着一行字：
> 第一关：猜数游戏。请用一张纸和一支笔，在三分钟内找到一个神秘数字。
小明看看窗外，阳光正好；再看看手里这封信，墨迹似乎还带着淡淡的松烟香。
"七百年前的人……怎么会给我写信？"他自言自语。
但他的眼睛已经亮了起来。
他跑去书桌，铺开一张干净的纸，拿起铅笔。
冒险开始了。
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一封来自七百年前的信，到底写了什么？
这不是一个普通的故事开头。如果你刚刚合上这封信，你心里一定冒出了好几个问题：
- 朱世杰是谁？
- 《四元玉鉴》是什么？
- "四元"是什么意思？
- 为什么他要专门写信给我，让我"动手"？
这些问题的答案，藏在本书接下来的每一章里。但在揭开它们之前，我们先做一件更重要的事——
我们先回答一个你可能还没问、但最重要的问题：
> 为什么一本 700 年前的数学书，今天的小读者还应该读它？
这可不是一个"因为它是古董所以很厉害"的问题。700 年的时间够长了，长到恐龙都早灭绝了，长到 iPhone 都更新了二十多代。在这么长的时间里，居然还有数学家专门去研究这本书，专门把它翻译成各种语言，专门在大学课堂上讲它——
一定是因为这本书里有"活的东西"，今天还在跳动。
什么是"活的东西"？
我们用一个比喻：如果你家门口有一棵老银杏树，已经长了 1000 年，你走过去摸一摸它的树干，会发现树皮底下其实还是活的——年年还在发新芽，年年还在结果。
数学书也一样。有的数学书读完之后就是"历史"，放在博物馆里供着；但有的数学书读完之后你才发现——它里面的方法，你今天还在用；它解决的问题，今天的中学生还在做；它提出的问题，今天的数学家还没有完全回答。
《四元玉鉴》就是后一种。
这本书里，藏着一整套"用四个未知数一起跳舞"的技巧；藏着一张"把几何问题变成代数问题"的秘密地图；藏着一种"把一大堆数字叠起来找出规律"的本领。这些东西，看起来很古老，剥开来一看——
哎呀，这不就是我们今天在课本里学的"方程""多项式""数列"吗？
只不过，朱世杰用了一种我们今天看来很"复古"的方式来讲它们：筹算（用小竹棍摆数字）、天元（四四方方的图）、四元（把四个未知数摞在一起）。
所以，本书要做的第一件事，不是让你"背诵历史"，而是——
让你和小明一起，跟着朱世杰这封邀请函，一步步走进这本书，然后惊讶地发现："原来我今天学的数学，700 年前就已经有人在玩了！"
这就是我们这一章要解决的核心问题：
> 为什么 700 年前的一本数学书，今天还能让小朋友们惊叹？
下面，我们用五个步骤来回答它：先玩一个游戏，再认识一本书，再画一张地图，再定几个小约定，最后请朱世杰"登场"。
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第一个惊叹：猜数游戏，方程的"魔法种子"
游戏规则
朱世杰信里说的"猜数游戏"，其实是这样的：
> 我心里想了一个数。你每次可以问我一个问题，我只能用"是"或"不是"来回答。请你在最少的问题数内，把这个数找出来。
听起来简单？让我们玩一玩。
第 1 关：心里想一个 1 到 10 之间的整数。
你猜：5。 小明：是 5 吗？ 朱世杰：不是。 小明：是偶数吗？ 朱世杰：是。 小明：6？ 朱世杰：是！
三个问题，搞定。
但是——
如果我们把范围扩大呢？
第 2 关：心里想一个 1 到 1000 之间的整数。
如果你还是一个一个猜，最多可能要猜 1000 次。太慢了。
小明这次学聪明了： "我换一个问法：这个数是否大于 500？" 朱世杰：是。 "大于 750 吗？" 朱世杰：不是。 "大于 625 吗？" 朱世杰：不是。 "大于 562 吗？" 朱世杰：是。 "大于 593 吗？" 朱世杰：不是。 "大于 578 吗？" 朱世杰：是。 "大于 585 吗？" 朱世杰：是。 "大于 589 吗？" 朱世杰：不是。 "588 吗？" 朱世杰：是！
9 个问题，从 1000 个数里精确锁定一个。
这个方法，叫"二分法"。 每次把范围砍掉一半。$1000 \to 500 \to 250 \to 125 \to ...$ 你会发现，最多只要 $\log_2 1000 \approx 10$ 次就能搞定。
但是，朱世杰信里写的"三分钟猜出来"，并不是让你做"二分法"。他想让你玩的是另一种游戏——
第 3 关：这次，朱世杰心里想的不是一个"数"，而是一个"方程的解"。
他告诉你：
> 这个数乘以 3，再减去 7，等于 14。请找出这个数。
你怎么做？
小明想了想，写下：
$3x - 7 = 14$
然后一步一步求解：
$3x = 14 + 7 = 21$
$x = 21 \div 3 = 7$
答案：7。
整个过程用了不到一分钟。
小明突然明白了什么——
原来，"找数"有两种方式：
- 一种是**猜测 + 验证**，像二分法那样；
- 另一种是**列方程 + 解方程**，先把未知的东西用一个符号 $x$ 装起来，再用加减乘除把它"解出来"。
第二种方式，就是朱世杰在《四元玉鉴》里玩得出神入化的方法。只不过，他把"一个未知数"升级成了"四个未知数"，把"加减乘除"升级成了"加减乘除乘方开方任意组合"。
这就是方程的"魔法种子"：用一个符号代表一个你不知道的数，然后让这个符号服从一些规则，最后你把规则翻译过来，就能反推出这个符号的真实值。
朱世杰把这颗种子，种在了 700 年前的中国。然后，这颗种子发芽、开花、结果——一直到今天，开在了你小学、中学、大学的每一本数学课本里。
让我们再玩一次
> 我现在心里想了一个数。这个数加上它的 2 倍，等于 21。请找出这个数。
你会怎么列方程？
提示：设这个数为 $x$。 "它加上它的 2 倍"，意思是 $x + 2x = 3x$。 所以方程是 $3x = 21$。 解出来：$x = 7$。
如果你做对了，那恭喜你——你已经用上了 700 年前朱世杰天天在玩的方法。
升级挑战
> 我心里想了两个数。已知它们的和是 10，差是 4。请问这两个数分别是多少？
这一次，"一个未知数"不够用了。我们需要两个未知数：
设较大的数为 $x$，较小的数为 $y$。
方程组是：
$$\begin{cases} x + y = 10 \\ x - y = 4 \end{cases}$$
两个方程，两个未知数。把两个方程加起来：$2x = 14$，所以 $x = 7$；代回去 $y = 3$。
答案：较大数是 7，较小数是 3。
这就是"二元"方程组——朱世杰在《四元玉鉴》里把"二元"玩到了"四元"：四个未知数，四个方程，四个未知数一起在方程里跳舞。
到第二章《朱世杰的童年》里，我们会详细看他小时候是怎么迷上这些"未知数游戏"的。
但现在，请先在心里默念三遍——
"方程的魔法：用一个符号，把未知变成已知。"
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第二个惊叹：一本"失而复得"的传奇之书
朱世杰是谁？
朱世杰（约 1249 年—约 1314 年），字汉卿，号松庭。他是元朝燕山（今北京一带）人，在元代数学史上，被尊称为"朱四杰"之一（另外三位是秦九韶、李冶、杨辉）。
朱世杰一生做了两件大事：
1. 著有《算学启蒙》三卷（1299 年出版），这是一本数学入门书，相当于 700 年前的"小学数学课本"，从认数字开始，一路教到方程。 2. 著有《四元玉鉴》三卷（1303 年出版），这是一本数学高阶书，专门讲"用一个、两个、三个、四个未知数解方程"的方法。
你可能注意到了："四元玉鉴"这四个字，每个都有意思。
- **"四元"**：四个未知数（古人分别叫它们"天""地""人""物"，所以也叫"四元术"）。
- **"玉鉴"**：玉做的镜子。镜子能照见万物，这本书号称能"照见"所有的方程问题。
- 合起来：**一面玉做的镜子，能照见四个未知数的秘密。**
一段"失踪"的历史
但这本书的命运，坎坷到让人心疼。
《四元玉鉴》出版之后，由于里面方法太精妙、符号太复杂，普通读书人看不懂，所以流传范围非常窄。再加上后来明清两代，科举考试不考这么高深的数学，这本书就慢慢被人遗忘了。
到了清朝初年（17 世纪末），中国数学家几乎没人知道这本书的存在。它就这样"失踪"了 400 年。
直到 1772 年，一个叫罗士琳的年轻人，在一座古寺的废纸堆里，偶然发现了一本手抄的《四元玉鉴》。他如获至宝，立刻开始研究、注释。
再后来，1839 年，数学家沈钦裴重新校订了这本书。
再后来，19 世纪末，日本数学家建部贤弘、三上义夫注意到了这本书，把它介绍到了日本和西方。
20 世纪初，英国科学史家李约瑟在他的巨著《中国科学技术史》中，专门用一章来介绍《四元玉鉴》。他说，这本书是"中国数学史上最高的丰碑之一"。
20 世纪末，美国数学家道本周（John Dauben） 等人研究后认为，《四元玉鉴》中提出的"四元消法"，与 19 世纪欧洲数学家西尔维斯特（Sylvester）和凯莱（Cayley）发明的"结式（resultant）理论"在思想上惊人地相似——只不过朱世杰比他们早了 500 年。
这意味着什么？
意味着当欧洲还在用希腊几何和阿拉伯代数拼凑方程的时候，朱世杰已经用一种完全独立、极其系统的方式，把"四个未知数的方程"玩到了炉火纯青的地步。
这是中华民族对世界数学的一份厚礼。
为什么这本书值得读？
我们总结三点：
1. 它是中国古代方程思想的"集大成者"。如果你想一口气看清中国古人怎么处理"未知数"，看这一本书就够了。 2. 它至今仍在被数学家研究。每年都有论文讨论《四元玉鉴》中的某个技巧是如何"现代化"的。它不是"死历史"，而是"活学问"。 3. 它的思想，和你今天学的数学一脉相承。读完这本书，你会对"方程""多项式""数列""几何代数化"这些概念有一个更深的理解——你会知道，这些概念不是凭空掉到课本里的，而是几百年、几千年慢慢演化出来的。
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第三个惊叹：一张 15 章的"数学探险地图"
全书结构
接下来的 15 章，我们将一起踏上这段数学探险之旅。下面这张图，就是我们的路线图：
```mermaid flowchart TD A[第1章 一封来自元朝的邀请函<br/>认识朱世杰与四元玉鉴] --> B[第2章 朱世杰的童年<br/>从燕山少年到数学家] B --> C[第3章 天元术<br/>用一个符号代表未知数] C --> D[第4章 四元术<br/>四个未知数的舞蹈] D --> E[第5章 太岁纪年<br/>古人的生活与数学] E --> F[第6章 方程的图形语言<br/>从筹算图到坐标系] F --> G[第7章 多项式的奇妙世界<br/>加减乘除的任意组合] G --> H[第8章 消去法<br/>让未知数消失的魔法] H --> I[第9章 二项式定理的前世今生<br/>从堆叠到组合] I --> J[第10章 数字魔术<br/>从筹算到珠算] J --> K[第11章 几何的代数化<br/>用方程描述图形] K --> L[第12章 测量与测望<br/>古人的测高望远术] L --> M[第13章 垛积术<br/>堆叠中的数学规律] M --> N[第14章 当朱世杰遇见现代数学<br/>古今对话] N --> O[第15章 数学探险家的精神<br/>向未知出发]
style A fill:#ffe4b5 style O fill:#ffe4b5 ```
三大主题板块
如果把 15 章分成三组，我们可以看到全书有三个"主题山脉"：
第一座山：方程的"单人舞"到"多人舞"（第 1—4 章）
从"一个未知数"开始，慢慢增加到"两个""三个""四个"。这一段，我们重点学习"如何用符号代表未知数"，以及"如何让多个未知数一起解方程"。
第二座山：从数字到图形，从算术到几何（第 5—11 章）
方程只是工具，工具是用来解决问题的。这一段，我们用方程去解决实际测量问题、几何问题、数列问题、组合问题。
第三座山：古今对话，展望未来（第 12—15 章）
我们把朱世杰的方法和今天的数学对照，看看哪些方法"古已有之"，哪些方法"今更先进"。最后，我们一起思考：作为 21 世纪的小读者，我们能从朱世杰身上学到什么？
阅读建议
读这本书，有三种方式：
- **方式一：按顺序读（推荐）**。每一章都是下一章的铺垫，跳过会错过很多乐趣。
- **方式二：挑喜欢的章节读**。如果你对"测高望远"特别感兴趣，可以直接翻到第 12 章。
- **方式三：动手实践读**。每章都有一个"实践环节"，建议你读完之后真的动手做一做。
章节之间的"通关文牒"
朱世杰信里那张"通关文牒"，其实每章都有一张。我们会在每章末尾，把这章的"通关印信"盖在你的数学好奇心笔记本上。
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第四个惊叹：阅读本书的"三个小约定"
在正式出发前，我们定三个小约定。这三个约定不是规矩，是让你读这本书更开心的秘密。
约定一：手边永远有纸和笔
数学是"做"出来的，不是"看"出来的。
朱世杰在《四元玉鉴》的开头写了一句话："用算之道，先列方程，次求消元。" 这句话翻译成今天的话就是：
> 做题的时候，第一步先把方程列出来，第二步再去求解。
注意，他没有说"先读题"，他说"先列方程"。因为读题只能让你变成"会讲故事的人"，列方程才能让你变成"会解决问题的人"。
所以，无论你读到哪一页，只要看到一个数学小问题，请立刻拿出纸笔，自己算一算。
约定二：看不懂就跳过，回头再看
《四元玉鉴》这本书，有些地方连大学数学系的学生都要看几遍才能懂。所以看不懂是非常正常的。
我们建议你：
- 第一遍：通读，了解大意。
- 第二遍：精读，跟着算一算。
- 第三遍：挑你最感兴趣的章节，反复琢磨。
数学不是一遍就能读懂的。多读几遍，你会发现每次读都有新发现。
约定三：把"不懂"变成"最想问的问题"
读这本书的时候，请准备一本"数学好奇心笔记本"（我们下一节就要做）。
每当遇到"看不懂的地方"，不要急，先记下来。等读完一章，再回头看那个问题。
很多伟大的数学家都说："我之所以能解决一个问题，是因为我曾经被这个问题困住了 5 年。"
数学不是"不会就放弃"，而是"不会就放着，迟早会想通"。
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第五个惊叹：如果朱世杰来到你的教室
让我们做一个小剧场——
场景：今天上午第二节课
> 老师：同学们好，今天我们请来了一位特别的客人。这位客人来自 700 年前的中国。他是一位数学家，名字叫朱世杰。大家掌声欢迎！ > > 小明：朱先生，您好！请问您为什么会写信给我？ > > 朱世杰：因为我听说 700 年后的小朋友，方程学得很好。我很想考考你们。 > > 小红：朱先生，方程有什么难的？不就是 $x + 3 = 5$，$x = 2$ 嘛。 > > 朱世杰：哈哈，这只是方程的"婴儿期"。你们可知道，在我的《四元玉鉴》里，最复杂的方程有四个未知数？ > > 全班：哇！ > > 朱世杰：比如这一道题—— > > 鸡兔同笼，上头共 35 个头，下面共 94 只脚。问鸡兔各几何？ > > 小明：这我会！设鸡有 $x$ 只，兔有 $y$ 只，那么—— > > $$\begin{cases} x + y = 35 \\ 2x + 4y = 94 \end{cases}$$ > > 朱世杰：非常好。两个方程，两个未知数。这是二元方程组。但是我那个时代，更难的问题是这样的—— > > 三个未知数，三个方程，方程里有平方、有立方、有开方。 > > 比如下面这一道： > > $$\begin{cases} x^2 + y^2 + z^2 = 30 \\ x + y + z = 9 \\ xy + yz + zx = 27 \end{cases}$$ > > 全班：…… > > 朱世杰：慢慢算，不急。我花了好多年才把这些"消去法"摸出来。 > > 小红：朱先生，您是怎么办到的？ > > 朱世杰：第一，不要怕列方程。把未知的东西用符号装起来。 > 第二，不要怕多个未知数。一个一个消掉。 > 第三，不要怕计算量大。找规律，找捷径。 > > 小明：可是老师，我们现在都用计算器啊。 > > 朱世杰：计算器是好工具，但是计算器不会列方程。列方程这件事，要靠你的脑子。要靠你的好奇心和想象力。 > > 老师：同学们，今天朱先生告诉我们的其实就是一句话—— > > "方程，是把未知变成已知的桥梁。" > > 朱世杰：说得比我说得还好。我们下节课再见！
剧场小结
从这个剧场里，你可以抓到三个关键词：
1. 列方程：把未知的东西用符号装起来。 2. 消元：把多个未知数一个一个消掉。 3. 好奇心和想象力：这是任何工具都替代不了的东西。
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你的"数学好奇心笔记本"
现在，让我们来完成本章最重要的一个实践任务：制作你的"数学好奇心笔记本"。
准备材料
- 一个 A5 大小的笔记本（最好是空白页的，不要带横线）。
- 一支铅笔、一支彩色笔。
- 你的名字贴纸一张。
第一页：扉页
在最上面写："我的数学好奇心笔记本"
下面写：
> 我的名字是 ______________ > > 我开始记这本笔记的日期是 ______________ > > 我最崇拜的数学家是 ______