重返九章

第 1 章：重返九章

一位受过严格现代训练的数学家——假设他精通代数几何或泛函分析，习惯于从范畴、层、同调这些抽象结构出发思考问题——偶然翻开《九章算术》的第一页，他看到的可能是一种熟悉的陌生感。第一章"方田"的第一道题是这样开始的："今有田广十二步，从田一十一步。问为田几何？"答案："答曰：一百三十二步。"方法："术曰：广从步数相乘得积步。"如果有刘徽的注释，会在后面追加一段说明，解释为什么长方形的面积是长乘宽。

这种结构对一个现代数学家来说，是陌生的。我们训练出来的阅读习惯是定义-公理-定理-证明。先弄清楚基本概念是什么，再从基本命题出发演绎出复杂结论。读《九章算术》时，我们面对的不是这套东西。我们面对的是一系列具体问题，每一个问题都自带场景，一块田、一堆粮食、一项徭役、一个工程，然后是直接的答案，然后是直接的方法。看起来，这就是一本应用题大全。

但这个第一印象会引出一连串问题。这本书在中国数学史上为什么有那么高的地位？为什么历代都有大数学家为它作注，刘徽、李淳风、贾宪、杨辉、李冶、朱世杰？如果它真的只是应用题集，这些人为什么要花那么大力气？为什么它会传到朝鲜、日本、越南，成为东亚数学传统的基础？

更重要的是，这本书和我们今天理解的数学之间，到底是什么关系。是我们太狭隘，把数学理解得太希腊化了？还是这本书真的不是那种数学，而是另一种东西？

本章要解决的核心问题是：一个现代数学专家，今天为什么要读《九章算术》。我们分四步展开。先拆掉"中国数学不算数学"这个伪命题，看清偏见是怎么形成的。再回到《九章算术》在数学史上的真实位置，建立正确的参照系。然后提出贯穿本书的三线索阅读法，算术、方程、勾股，作为全书的骨架。最后与读者约定本书的阅读姿态：不是猎奇，不是怀旧，而是与一本两千年前的数学书进行严肃对话。

在开始理论讨论之前，让我们先看一个具体的例子，作为全书的开场。

一个开场案例：方田第一题与几何原本第一命题

《九章算术》的第一章叫方田，处理的是田地面积的计算。第一道题是这样的：

> 今有田广十二步，从田一十一步。问为田几何。答曰：一百三十二步。 > 术曰：广从步数相乘得积步。

翻译成现代汉语：现在有一块田，宽 12 步，长 11 步。问田的面积是多少。答：132 平方步。术（方法）：把宽和长相乘就得到面积，以平方步为单位。

这道题两千多年后读起来，仍显得过于简单。不就是矩形面积公式 $S = a \times b$ 吗。刘徽的注释会进一步说明这条公式的合理性。他用"以盈补虚"的几何割补法论证，把一块矩形切成两半，重新拼成另一种形状，只要不重叠、不遗漏，面积不变。这种论证方式，本质上是在说面积的可加性与可移置性，是几何上的证明。

我们再看欧几里得《几何原本》第一卷的第一命题：

> 在给定的线段上作一个等边三角形。

欧几里得没有从一块具体的田地出发。他给出了 23 个定义（什么是点、什么是线、什么是圆），5 个公设（两点之间可以画一条直线、所有直角都相等），5 个公理（等于同量的量彼此相等）。第一命题是基于这些基本元素，通过三段论式的演绎推理证明可行。整个证明不依赖任何具体的丈量。

把这两道题放在一起看，差异非常清楚。《九章算术》的第一题从一块具体的田地出发，给出问题、答案、方法，整个结构是题目-答-术。它处理的是一个真实存在的丈量问题，目标是得到一个可用的数字答案。欧几里得的第一命题从一个抽象的线段出发，给出的是构造的可能性证明，目标是证明某个几何事实在公理系统内是成立的。

但这种差异不能立刻被解读为高低之分或成熟与否。它是两种不同的数学传统的具体表现。一种是从具体问题出发的算法传统，一种是抽象结构出发的演绎传统。这两种传统各自有完整的内部逻辑，各自处理不同的核心问题，各自发展出不同的方法论。把其中一种当作唯一标准来评判另一种，本身就是不合适的。

这是我们读《九章算术》的起点。

"中国数学不算数学"的偏见是如何形成的

要把《九章算术》读懂，第一道障碍不是古文，而是隐形的偏见。这种偏见的影响之大，以至于许多中国学者在介绍《九章算术》时，也自觉或不自觉地用"是不是真数学"这种标准来衡量它。

偏见的形成，至少可以追溯到十七世纪耶稣会士来华之后。1607 年，徐光启与利玛窦合译《几何原本》前六卷，徐光启写下了"举一例百，更无遁辞"的赞叹。这句话背后是徐光启对欧几里得式几何学的折服。它能从少数几个基本命题出发，举一反三地推出无穷多的几何结论。这与中国本土数学传统的叙述方式，一系列具体算法，形成了鲜明对比。

到十八、十九世纪，随着欧洲数学的进一步发展和中国数学的相对停滞，这个"停滞"背后有复杂的社会经济原因，不应简单归因于数学传统本身，"几何原本式"的数学观被进一步强化。法国数学家罗贝瓦尔 (Roberval) 在十七世纪末评论中国数学时，认为中国数学只有计算，没有证明。类似的判断在欧洲数学史家中很普遍，包括十九世纪末的著名数学史家 M. 坎托罗 (Moritz Cantor)。黑格尔在《哲学史讲演录》中说中国没有真正的哲学，这种判断的逻辑也被延伸到数学上。

二十世纪上半叶，李约瑟的巨著《中国科学技术史》(Science and Civilisation in China) 试图更公平地评价中国数学。他的叙述框架是"中国数学是现代数学的祖先之一"。他特别强调《九章算术》中的方程术是高斯消元法的先驱，强调中国在十进制记数法上的贡献，强调宋元数学的高水平。这种叙述提升了《九章算术》的地位，但它仍然是以现代数学的成就为坐标来评价。换句话说，李约瑟的评价框架是中国古代数学孕育了现代数学的某些内容，而不是中国数学是一种独立的、自洽的数学传统。

更晚近的数学史家开始反思这种"祖先论"框架。法国学者 Martzloff 在他的《The History of Chinese Mathematics》(1987/1997) 中，尝试给出一种更内在的叙述。法国国家科学研究中心 (CNRS) 的 Karine Chemla 和郭书春在 2004 年主编的九章算术多语种译本中，强调中国数学有自己的逻辑标准，这种标准不能被简化为西方逻辑的弱版本。特别是 Chemla 的工作显示，刘徽的注释中包含大量类似希腊式证明的成分，但这种证明追求的不是公理-演绎的形式完美，而是方法可重复性和几何-算术一致性。这与希腊式的形式化要求是不同的目标。

所以，"中国数学不算数学"这个偏见的形成，至少涉及三层因素。最表层是十七世纪以来传教士主导的东西方数学接触，以及随之而来的"几何原本"范式的引入。中间层是十八、十九世纪欧洲中心主义的历史叙述，它把数学史叙述为希腊起源、欧洲发展、全球传播的故事。最深层是一种哲学假设：数学就是公理化演绎，没有演绎就不是数学。这种哲学假设在二十世纪初随着希尔伯特的形式主义、罗素主义的发展进一步加强，到了哥德尔之后才被部分打破，但它的影响仍在。

今天我们读《九章算术》，首先需要意识到的就是这三层偏见的存在，并主动悬置它们。需要强调的是，悬置偏见不等于反过来抬高《九章算术》。我们要做的不是把《九章算术》说成另一种意义上的天才创造，而是说，在评判它是不是真数学之前，我们先要弄清它在做一件什么事，它用什么样的方式在做，以及这种方式是不是合理的、有内在一致性的。

《九章算术》在数学史上的真实位置

悬置偏见之后，下一步是给《九章算术》找一个合适的历史坐标。

《九章算术》的成书过程是复杂的。它不是某位作者一次写成的书，而是一部经过长期编纂的问题集。现存版本的主体内容大致成书于西汉末年到东汉初年，约公元前 1 世纪到公元 1 世纪，但其中许多问题的历史可以追溯到更早的春秋战国时期。最迟到公元 263 年，刘徽为《九章算术》作注，这部书才从问题集变成了有系统解释的数学文献。再往后，唐代李淳风约 656 年整理了刘徽的注释，成为今天流传版本的基础。

这个时间轴本身就值得注意。《九章算术》主体内容形成时，欧洲正处于希腊化时期。欧几里得（前 300 年左右）的《几何原本》、阿基米德（前 287—前 212 年）的几何与力学工作、阿波罗尼乌斯（前 262—前 190 年）的圆锥曲线工作都已经完成。但这两大数学传统在当时没有接触，它们各自独立发展，直到一千多年后才相遇。这种独立发展的历史背景，使得《九章算术》成为研究"另一种数学传统是什么样"的最纯粹的素材。

从内容上看，《九章算术》包含 246 个问题，分布在 9 章里：

| 章名 | 主要内容 | |---|---| | 方田 | 各种形状田地的面积计算，包括矩形、三角形、梯形、圆、环形、弧形 | | 粟米 | 按比例交换各种粮食 | | 衰分 | 按比例分配，包括按人数和等级分配 | | 少广 | 已知田地面积反推边长，本质上是开方和分数运算 | | 商功 | 各种工程（土方、堤坝、粮仓）的体积和工时计算 | | 均输 | 按距离比例的徭役分摊和粮食运输 | | 盈不足 | 盈亏类问题，本质上是线性插值和假设法 | | 方程 | 线性方程组的系统解法 | | 勾股 | 直角三角形三边关系及其应用 |

每一章的题目都遵循题目-答-术的固定结构。如果有刘徽的注释，会以"刘徽注"或类似形式出现。这种结构本身，就决定了它和《几何原本》的根本差异：《九章算术》是一部算术-算法传统的代表作，《几何原本》是演绎-证明传统的代表作。

但这两个传统不是相互排斥的。刘徽的注释本身就引入了大量的证明成分。他用以盈补虚的几何割补说明矩形面积公式，用齐同术解释分数运算的几何意义，用极限思想（"割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣"）说明圆面积的推导。刘徽的注释告诉我们，中国数学传统内部本来就包含证明意识，只不过这种意识的发展方向和希腊不同。希腊式的证明追求从公理出发的形式演绎，中国式的证明追求从具体问题出发的算法合理性与几何直观一致性。

更重要的是，《九章算术》本身包含了若干非平凡的数学成果。方程章的方程术，本质上是线性方程组的矩阵式解法，在世界数学史上是极其突出的。勾股章从勾股定理出发，推出 20 多个推论，其中包括现代所谓的算术-几何平均不等式

$$ab \leq \left(\frac{a+b}{2}\right)^2$$

的等价表达，以及勾股数组生成法。这些成果不是孤立的，它们构成了一套连贯的、内在一致的数学知识体系。

所以《九章算术》在数学史上的真实位置是：它代表了东亚地区独立发展的、以算术-算法为核心的数学传统。这个传统有自己的问题意识、方法论、审美标准。它和希腊传统并列存在，而不是"前数学"或"准数学"。把它放进数学史的全球图景中，我们才能看到数学这门学问本来就有多种可能的形态。

三线索阅读法：算术、方程、勾股

有了正确的历史坐标，下一步是建立具体的阅读方法。本书采用三线索阅读法，把《九章算术》的内容重新组织为三条主线。

第一条线索是算术。这里的算术不是小学意义上的加减乘除，而是指《九章算术》中关于面积、体积、比例、分数的一般计算方法。方田、商功、粟米、衰分、少广、均输、盈不足这七章，核心内容都是算术方法，它们处理的是各种实际情境下的数量计算问题。这一线索的核心问题意识是：给定一类问题，存在一类通用算法可以解决它们。例如，方田章给出的不是某一个矩形的面积怎么算，而是矩形面积的一般公式；不是某一组比例交换，而是比例交换的一般方法。这种一般化的需求，让《九章算术》的算法具有高度的概括性。

第二条线索是方程。这里的方程不是现代中学意义上的二次方程，而是指线性方程组的系统解法，方程章是它的核心。这一线索的方法论意义极其突出：它在世界数学史上首次以矩阵式的眼光看待多个未知数的线性系统，给出了与现代高斯消元法几乎完全一致的解法。欧几里得传统中没有任何类似的系统方法。中国传统在两千多年前就把线性代数的基本操作形式化了。这在世界数学史上是领先的。这一线索的核心问题意识是：如何把多个约束条件统一处理。

以方程章第一题为例：

> 今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗。上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗。上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何。

翻译：取上等禾 3 把，中等禾 2 把，下等禾 1 把，得谷 39 斗。上等禾 2 把，中等禾 3 把，下等禾 1 把，得谷 34 斗。上等禾 1 把，中等禾 2 把，下等禾 3 把，得谷 26 斗。问上、中、下等禾每把各得谷多少。

这道题的现代解法是解一个三元线性方程组：

$$\begin{cases} 3x + 2y + z = 39 \\ 2x + 3y + z = 34 \\ x + 2y + 3z = 26 \end{cases}$$

而《九章算术》给出的"方程术"，本质上是把系数排成一个 3×4 的方阵（最后一行是常数项），然后通过逐步消元求解。这个方法和十九世纪高斯在《算术研究》(Disquisitiones Arithmeticae, 1801) 中给出的方法在本质上一致，只是记号不同。值得注意的是，这道题与十九世纪欧洲的同类问题之间隔了一千多年，而《九章算术》的处理方式已经完全成形。

第三条线索是勾股。勾股章从直角三角形三边的关系出发，推出一系列推论。其中勾股定理本身

$$a^2 + b^2 = c^2$$

是核心，但更重要的是它的反向应用，即给定某些几何关系，反求某些长度。这一线索在中国数学后来的发展中（如宋元时期的《测圆海镜》）成为主流之一，构成了几何与代数融合的中国式路径。这一线索的核心问题意识是：几何关系如何转化为数量关系，反之亦然。

为什么是这三条线索而不是别的。因为这三条线索各自代表了数学发展的一个核心方向。算法方向处理如何系统地解决一类问题；结构方向处理如何处理多元约束的统一框架；关系方向处理如何在不同数学对象之间建立对应。任何完整的数学传统，都需要处理这三个方向的问题。《九章算术》在这三个方向上各自给出了有代表性的成果，这使它成为我们理解中国数学传统最合适的入口。

更重要的是，这三条线索之间并不是孤立的。勾股章的问题最后常常归结为方程章的方法来处理，直角三角形的多重约束，最后被组织成线性方程组。方程章的运算背后是算术章的算法基础，开方、分数、四则运算构成了线性系统求解的工具。三条线索互相交织，构成了《九章算术》的内在结构。本书的后续章节，会沿着这三条线索分别展开。算术线索主要在第二至第五章，方程线索从第六章展开，勾股线索从第九章展开。

阅读姿态：对话而非猎奇

最后，让我们明确本书的阅读姿态。

读古代数学文本，最容易犯的两个错误是猎奇和怀旧。猎奇式的读法会让我们惊叹于"古人居然知道 X"，却不去理解 X 在古人语境中的真正含义。怀旧式的读法会让我们感慨"古人的智慧超越时代"，却不去追问这种超越的具体机制。这两种读法都让古代文本变成我们当下的消费品，而不是与我们平等对话的另一个主体。

本书采用的读法是对话式的。这种读法的核心假设是：《九章算术》的作者（无论他们是谁）和我们一样，是严肃的思考者。他们面对的问题是真问题，他们给出的方法是真方法，他们的局限是真局限。把《九章算术》当成对话伙伴，意味着我们要做三件事。

第一，进入文本的字面意思。每一道题都要还原成具体的数学问题。它给出了什么条件，要求什么，求解过程是什么。这个还原要求我们处理古文、度量单位、隐含假设。一个"步"是多少米。一段"引"是几尺。"今有田广十二步，从田一十一步"中的"广"和"从"具体是什么几何关系。不进入这些具体细节，就无法真正理解每一道题。

以方田第一题为例，广是横向的长度，从是纵向的长度。一步大约等于六尺，相当于现代的 1.3 米左右。所以这块田大约是 15.6 米宽，14.3 米长，面积约 223 平方米。理解了这些量纲，我们才能看到这道题的具体性。它不是抽象的矩形面积公式，而是汉代中等田地面积的丈量问题。这种具体性，正是《九章算术》的特征。

第二，理解文本的内在逻辑。一道题的术曰部分不只是答案的复述，它本身就是一种方法论声明。它告诉我们，这类问题可以用这种方法解决。为什么这种方法有效。它的有效性来自什么。是基于几何直观、代数恒等式，还是某种经验性的归纳。刘徽的注释是我们进入这种内在逻辑的关键钥匙。他经常用以盈补虚或齐同术这样的解释，让我们看到方法背后的理由。

以方田章的圆田术为例。求圆田面积，《九章算术》给出"术曰：半周半径相乘得积步"。即

$$S = \frac{1}{2} \cdot 2\pi r \cdot r = \pi r^2$$

这条公式用现代记号写出来就是圆面积公式，但《九章算术》的时代取 $\pi = 3$。刘徽在他的注释中通过割圆术，一个极限过程，推导了更精确的 $\pi$ 值。他从圆的内接正六边形出发，逐步倍增边数（12、24、48、96、...），得到越来越接近圆的多边形，最终推出 $\pi \approx 3.14159$。这是刘徽最伟大的贡献之一，也是世界数学史上最早的极限思想之一。

第三，定位文本的外部坐标。一道题放在《九章算术》的整体结构里看是什么意思。放在与《几何原本》、与印度数学、与阿拉伯数学的关系中看又是什么意思。一道题可能是算术线索中的标准例题，也可能是勾股线索中的特殊应用，也可能是反映当时社会经济状况（土地测量、粮食运输、徭役分摊）的具体案例。这三种定位是互补的。孤立看一道题是看不完整的。

把这三个层次的工作合起来，就是本书所说的对话式阅读。它不是把《九章算术》当成古代智慧的博物馆，而是把它当成一份需要我们主动投入思考的数学文献。这种读法的回报是丰厚的：当我们真正进入《九章算术》的逻辑，我们会看到一些在现代数学教科书中很少出现的东西。例如，对算法一般性的高度自觉，对几何-代数对应的中国式理解，对问题驱动而非公理驱动的研究方法。这些东西对我们的现代数学训练是有益的补充，不是怀旧的装饰。

一张对照图：《九章》与《原本》的文本结构

为了把上面讨论的差异落实到结构上，让我们用一张图来对比《九章算术》与《几何原本》的文本结构。

```mermaid flowchart TD A["《九章算术》结构"] --> B["题目<br/>具体问题与数据"] B --> C["答<br/>数值结果"] C --> D["术<br/>通用算法"] D --> E["刘徽注<br/>解释与论证"]

F["《几何原本》结构"] --> G["定义<br/>基本概念说明"] G --> H["公设/公理<br/>基本前提"] H --> I["命题<br/>待证陈述"] I --> J["证明<br/>演绎推理"] J --> K["推论<br/>后续应用"] ```

读《九章算术》的入口是题目，从具体问题入手。读《几何原本》的入口是定义，从抽象概念入手。这种入口的差异，反映了两种数学传统在"从哪里开始"这个问题上的根本分歧。我们今天进入《九章算术》，必须从它的入口进入，而不是从《几何原本》的入口进入。

本章小结

本章要解决的核心问