古希腊的萌芽

第 1 章 古希腊的萌芽：阿基米德与失传的方法

公元前二百一十二年，罗马军队围困西西里岛的叙拉古已经到了第三个年头。守城的器械据说出自一个七十五岁老人之手：起重机一样的铁爪把罗马战船从水里整个吊起来，再摔个粉碎；传说中还有一面聚光的铜镜，能隔着海湾点燃船帆。统帅马塞勒斯对麾下的工程军官说过一句话，普鲁塔克把它记进了《马塞勒斯传》：我们的舰队要是连这个几何学家的百般戏弄都顶不住，还谈什么建功立业。这位几何学家叫阿基米德，生于约公元前二八七年，卒于公元前二一二年。城破那天，他正蹲在地上研究一幅画在沙盘里的图，一个罗马士兵走过来，他摆手让对方别踩坏他的圆，士兵一剑把他刺死了。临终那句话到底是别踩坏我的圆还是离我的图远一点，各种古书版本不一，已经无从稽考，但所有版本都指向同一件事：这个人死的时候，脑子里装的还是数学。这一章要讲的，就是他和他的同行们如何在两千两百年前，几乎摸到了微积分的门环。

叙拉古的围城与一位老人的死

阿基米德的一生大体可以分成两段：在亚历山大城学习的青年时代，和回到叙拉古独自工作的后半生。亚历山大城当时是地中海世界的学术首都，博物馆和图书馆藏有几十万卷抄本，欧几里得学派的传人都在那里。阿基米德在那里结识了科农和多西特乌斯，后来又通过书信与埃拉托色尼保持联系。这一点非常重要，因为他流传下来的著作几乎全部以书信的形式存在，收信人就是这些亚历山大城的朋友。换句话说，古希腊没有学术期刊，一封信就是一篇论文，阿基米德的九种传世著作，可以看作他一生寄出的九组系列邮件。

这些信件的开头都规规矩矩写着阿基米德向某某致意，正文却用他家乡叙拉古的多里斯方言写成，保留着西西里希腊语的旧拼写，后来的拜占庭抄工嫌它土气，一路改写成通行的雅典希腊语，给今天的文献学家添了无数麻烦。他自己造词也不手软，螺线、劈锥曲面这些名词都是他的发明，定义之精确让两千二百年后的教科书仍照单全收。读他的著作你会一直感觉到一种奇怪的混合：口气极其老实的工匠式陈述，内容却一个比一个惊人。

他的通信风格里还有一种今天读来特别有意思的做法。在《螺线论》的开头他明确告诉多西特乌斯：过去他常先寄去定理结论而不附证明，等对方自己琢磨，有人就拿他的定理去发表，声称是自己发现的，甚至把几个错的定理混进去；所以这次他把证明全部附上。这大概是学术史上第一次公开声明防范成果被剽窃。你可以看到一个天才在糟糕的出版制度下如何自卫，也能看到为什么后来罗马人一刀杀掉他，整个地中海的数学水平直接倒退了几百年。

关于他还有两个流传最广的故事，得交代一下出处，因为它们一半是信史一半是传说。一个是浴缸里的尤里卡：维特鲁威在《建筑十书》第九卷里说，叙拉古国王希伦二世定制金王冠，疑心金匠掺了银子，交给阿基米德鉴定，他在澡堂里注意到身体入水水位上升，想到同重量的金和银排开的水量不同，于是光着身子冲上街喊尤里卡，找到了不损坏王冠的验法。故事只有维特鲁威一个来源，现代学者普遍怀疑细节，因为水量差异小到当时器皿根本量不准，更可信的是他后来在《浮体论》里用浮力原理给出的严格解法。另一个是普鲁塔克笔下的心不在焉：他被人架去洗澡抹油，还要用手指在油里画几何图形，炉灰上更是画满了图，仆人们几乎没法把他从图形里拽出来。两个故事加起来，一个天才的形象就立住了：满脑子图形，对身外之物迟钝到近乎失明。

死后的遭遇同样令人唏嘘。西塞罗在公元前七十五年任西西里的财务官，据他自己《图斯库勒论辩集》第五卷的记载，他在叙拉古的荆棘丛里找到了阿基米德的墓，墓碑上刻着一个球内切于圆柱的图形。阿基米德生前最得意的发现就刻在那里：球的体积恰是外切圆柱的三分之二，球的表面积也是外切圆柱侧面积加两底面积总和的三分之二。一个世纪过去，叙拉古人已经说不清伟大同胞葬在哪里，还是这个罗马政治家凭着书里的记载把它重新找了回来。文明对数学的记忆，有时候真的靠一点点运气。

我总觉得，讲微积分的源头从阿基米德讲起而不是从牛顿讲起，不是掉书袋，而是因为后来发生的所有争论，无穷小到底是什么、严密和直觉哪个重要、发现和证明哪个优先，在他那里就已经全部预演过了。他一个人同时扮演了这场大戏里最早的两个角色。

芝诺的飞矢：希腊人的一块心病

要理解阿基米德为什么那样做数学，得先讲讲希腊人对无穷的恐惧。这份恐惧有一个具体的源头：埃利亚的芝诺，约公元前四九零年到前四三零年间的人。他的四个悖论被亚里士多德在《物理学》第六卷里记录下来，流传至今。二分法说，你要走到墙边，得先走到中点，要走中点得先走中点的中点，如此追溯下去，出发根本不可能。阿喀琉斯说，飞毛腿永远追不上乌龟，因为他先得到达乌龟的出发点，而那时乌龟又往前爬了一段。飞矢说，飞行中的箭在任一瞬间都占有一个与自身等大的空间，所以在那一瞬间是静止的，而无穷多个静止加起来怎么会是运动。游行队伍悖论则用三列相对移动的队伍证明同一段时间既是它自身的一半又是它的两倍。

芝诺的本意据说是为他的老师巴门尼德辩护，论证多与运动都是幻象。这个哲学目的后来没人记得住，那四个悖论却像四根刺，扎在希腊数学的心脏上整整两千年。亚里士多德的回应成为标准答案：无穷只存在于潜在之中，不存在于现实之中。你永远可以再取一段中点，这没问题；但你永远不能说无穷多个中点已经全部完成、摆在那里等你去穿越。用今天的话说，希腊人接受了潜无穷，拒绝了实无穷。

亚里士多德在《物理学》第三卷里给无穷下的定义本身就是潜在性的，大意是：所谓无穷，不在于它是一个再多不过的总量，而在于无论你取了多少，总有剩余可以再取。这个读法在今天看来一点也不可笑，反而相当现代。十九世纪柯西把无穷小定义为一个以零为极限的变量，而不是一个静止的数，骨子里正是亚里士多德式的处理：无穷是一种过程，不是一个东西。希腊人两千年前的立场，一直潜伏到极限论成熟的那个世纪。

这个立场对数学的影响极其深远。它意味着希腊数学家不能把圆直接看作无穷多边形的极限，不能把面积直接看作无穷多条线的总和，一切涉及无穷的步骤都必须绕着走。绕的方式要么是穷竭法那种严谨到繁琐的双归谬，要么干脆不碰。罗马人统治之后，这种对基础的挑剔连同整个演绎传统一起衰落，中世纪欧洲拿到手的希腊遗产，恰恰是这套被恐惧驯化过的数学。

还有一条线索不能不提，就是德谟克利特的原子论。普鲁塔克在《会饮问题》里记下了德谟克利特的一个困惑：用一个平行于底的平面去切圆锥，两个切面是相等还是不等？相等的话，圆锥就成了圆柱；不等的话，圆锥就成了台阶。这个两难逼问他却没有工具解决。有意思的是，阿基米德本人在《方法》的序言里白纸黑字地承认，圆锥体积等于同底等高圆柱的三分之一这个结论是德谟克利特发现的，而给出证明的是欧多克索斯。也就是说，发现归原子论者，证明归连续派，这个分工在古代就完成了，只是原子论的哲学在希腊输给了亚里士多德，连带这条数学路线也被冷落。原子和不可分量要到十七世纪，经由伽利略、伽桑狄和卡瓦列里才重新回到数学的正厅。

平心而论，这道心理防线也保护了希腊数学。正因为不肯糊弄无穷，欧几里得《原本》的定理到今天依然成立，一个字的修改都不需要。希腊人用速度换来了正确性。问题是，两千年的正确有时抵不上一次大胆的犯错，这个判断后面几章会反复得到验证。芝诺的飞矢在十八世纪还会被人重新捡起来射向牛顿，那是第八章的故事，此处先按下不表。

欧多克索斯与穷竭法：严谨得让人喘不过气

把恐惧变成制度的人是尼多斯的欧多克索斯，公元前四零八年到前三五五年间的人，柏拉图学园的门徒，据第欧根尼·拉尔修记载还去过埃及。他做了两件大事。第一件是在比例论上，处理不可公度量的问题：正方形的边和对角线没有一个共同的度量单位，毕达哥拉斯学派因此崩溃，欧多克索斯在《原本》第五卷里给出的比例定义巧妙地绕开了数，直接用两个量之间的比较关系说话，这个定义的精确程度要到十九世纪戴德金的手里才被重新达到。第二件就是穷竭法，写在《原本》第十二卷里，用来算圆的面积、棱锥和圆锥的体积。

穷竭法的引擎是《原本》第十卷第一命题：两个不相等的量，如果从大的当中每次减去一个大于它一半的量，不断继续，最后剩下的一定能小于任何预先给定的量。注意这句话的分寸：它不说减到零，也不说减无穷次，只说你要多小我就能多小。这就是潜无穷的官方话语。引擎有了，方法就成型了：要证明圆与圆的面积之比等于直径平方之比，就在圆里作内接多边形，从三角形、方形一路加倍到边数足够多，让多边形与圆的面积之差小于任何给定量；再证明如果所比不等于直径平方之比，就会推出多边形面积大于或小于圆面积，两头都荒谬。内接穷尽还不够，通常要外切再做一遍，双保险。数学史上把这叫双归谬法。

《原本》第十二卷里那些具体成果，值得报一遍账，因为它们是此后近两千年人类关于曲线立体的全部家底。第二命题证圆面积之比等于直径平方之比，用的是内接相似多边形不断加倍。第七命题证棱锥是同底等高棱柱的三分之一，第十命题证圆锥是圆柱的三分之一，第十八、十九命题证两球体积之比等于直径的三次方之比。此外，公元前五世纪的希俄斯的希波克拉底，据辛普里丘转述，已经用早期穷竭思想求出了几种月牙形的面积，那是人类第一次把曲线围成的面积精确地化成直线图形。你可以看到这套方法能打硬仗，从平面一路打到球。

这套方法严谨得无懈可击，也笨重得让人窒息。第一，它没有极限概念，每一步都停留在有限多边形，逻辑上干净，代价是整个过程只证明了一个具体的比例，不产生任何新的算法。第二，它没有通用性，算圆面积用内接多边形，算锥体体积用另一套分割，每个问题都要重新发明一遍机器。第三，也是最关键的，它把无穷挡在门外，也就把直觉挡在门外。

顺带澄清一个常见误会：穷竭法这个响亮的名字其实不是希腊人起的，古代文献里这套程序没有专名，穷竭这个词是一六四七年比利时耶稣会数学家格雷古瓦·德·圣樊尚在《几何著作》里取的，他大概是觉得自己在给古人的一台老机器重新挂牌。另一个值得咀嚼的事实是，穷竭法的论证结构与现代极限论证惊人地相似，都是先给定一个任意小的量，再证明差能小于它，唯一的差别是希腊人始终不肯把那个要多小有多小的过程本身命名成一个数，不肯迈出最后一步。这一步的内容，正是两千年后牛顿和莱布尼茨要抢着迈的那一步。你可以说穷竭法是微积分的祖父，但这位祖父给子孙定下的家规，让子孙两千年不敢越雷池一步。

顺便说一句，比欧多克索斯更早的智者安提丰就提过让内接多边形边数不断加倍，多边形最终与圆重合。这个想法被亚里士多德明确批驳，理由就是无穷不可完成。你看，正确的直觉早就有，只是当时的逻辑体系接不住它。数学史的悲哀之一，就是天才的直觉常常要等逻辑长出相应的器官。

抛物线的弓形：四分之三的来历

现在主角登场。阿基米德的短论《抛物线弓形求积》传世本共二十四个命题，结论只有一句话：抛物线与其一条弦围成的弓形面积，等于同底等高三角形的四分之三。这个三比四出来得干净利落，论证则分两条路线，一条纯几何，一条用力学，他两样都写了。

几何版的思路漂亮得像变魔术。在弓形里先内接一个以弦为底、顶点在弓形最高处的三角形；然后在这三角形两侧的小弓形里再各内接一个三角形，如此不断加密。他证明了一个关键事实：每一轮新添的三角形，面积总和恰是上一轮的四分之一。第一轮是一个三角形，记面积为一份；第二轮添两小个，合计四分之一份；第三轮添四个，合计十六分之一份。一轮一轮加下去，全部三角形的面积就是一加上四分之一加十六分之一加六十四分之一，无穷级数之和趋近四分之三。但请注意，阿基米德没有这样说。他不说无穷，他说：任取有限项之后，剩余部分还能继续二分，而剩余的弓形总能小于任何给定的量，于是再一次双归谬。对第二十三个命题他还给了一个极聪明的代数处理：证明前若干项之和加上末项的三分之一恰等于首项的三分之四，用我们今天的记号，部分和加尾巴修正项，等于无穷级数的和。他在没有无穷的语言的地方，硬是用手推车把无穷级数的货物运到了目的地。

这篇论著还有一个容易被忽略的细节：它是数学史上第一次有人系统地把一个曲线围成的面积算成一个精确的分数倍数。圆面积算不出来，只能算比例，而抛物线弓形连同它的四分之三，是第一条向人类低头交出精确面积的非直线图形。欧几里得的直线世界从此裂开一道口子，曲线进来了。

这篇论著的二十四个命题其实安排了两套独立的证明。前半部借助重心和杠杆给出一个力学味道较淡的版本，后半部从第十八命题起才是纯粹的内接三角形序列，两套论证互为印证，可见他对这个结果多么在意。第二十三命题那个代数小花招尤其值得细看：他把首项记为一份，证明前若干项之和再加上末项的三分之一，恰好等于四分之三份。用今天的记号写出来，就是一加四分之一加十六分之一，一直加到某一项，再加上那一项的三分之一，答案精确地等于四分之三，一项不多一项不少。无穷级数求和的公式，被他绕开无穷写成了有限恒等式，手段之巧，直到十九世纪还有人拿它当教学范例。

我第一次真正读懂这个证明时的感受，大概和十七世纪的几何学家读到它时一样：既惊叹于它的滴水不漏，又为它绕的弯路感到一种甜蜜的痛苦。你可以清清楚楚看见，四分之三就在那里，几何级数就在那里，只差一层窗户纸。捅破这层纸要等到阿基米德自己，用一种他不敢正式发表的方法。

这个四分之三在数学史上的地位，怎么说都不过分。十七世纪的开普勒、伽利略、卡瓦列里反复研读这篇论著，把内接三角形加密的技巧直接继承到不可分量法里；到牛顿和莱布尼茨手里，同样的几何级数求和成为积分计算的第一批例题。用现代积分写一下就知道它是什么：抛物线在区间上割出的弓形，等价于一条平方根曲线下的面积，四分之三正是积分的结果。从阿基米德的沙盘到今天的教科书，中间隔着的不是别的，是一整套代数和极限的语言。

平衡法：用杠杆称出面积

那层窗户纸就是《方法》。这份著作以书信的形式写给埃拉托色尼，开头就说明了来意，原话大意是：我想到一个办法，用力学来研究数学中的某些问题，这个办法对你会有用，许多一开始借助力学发现的东西，事后用几何证明会容易得多。他甚至许诺先讲一个用圆锥和圆柱求球体积的例子作为开胃菜。

方法的核心可以这样复述。把一个平面图形想成由它的所有平行截线组成，每一条线都带着它的重量，重量与长度成比例；再找一个支点，把另一个图形的截线也挂上去，用杠杆原理让两边在每一个高度上分别平衡。如果每一对截线都平衡，整个图形就平衡，于是两个面积之间的比例，可以直接从杠杆两臂的反比读出来。用《方法》第一命题的原文场景说：抛物线弓形的截线被挂在天平的一端，同一高度上一个大三角形对应截线的某个固定比例部分挂在另一端，支点选在恰当处，逐线平衡，最后得出弓形与三角形的重量比是四比三。前面几何法费尽力气证明的结论，这里像做物理实验一样直接读出来了。

这其实就是不可分量的思想，比卡瓦列里早了一千八百多年。图形由线织成，面积是线的总和，这正是十七世纪积分术的起点。更惊人的是，阿基米德用同一套办法处理了抛物面截体的体积、球缺、楔形圆柱，甚至螺线的面积。他没有停在二维。

但阿基米德自己心里非常清楚这在逻辑上站不住。他在信里说得明白：这种方法不能算证明，因为不能想当然地假定平面图形由线组成、立体由面组成。所以他每用力学报出一个结果，都要回头补一份几何证明，平衡法对他而言是发现的机器，不是论证的法庭。发现的方法和证明的方法分家，这个觉悟比平衡法本身还要超前。二十世纪的庞加莱说过类似的话，先靠直觉找到路，再靠逻辑把路铺平。阿基米德在公元前二四零年前后就已经在实践这条原则。

重写本里保存下来的《方法》共有序言加十五个命题，开列一下战果就能看出这种方法有多猛。第二命题处理球：把球、圆锥和圆柱的截片挂上杠杆逐层平衡，直接读出球的体积等于以大圆为底、球半径为高的圆锥的四倍，用今天的记号就是三分之四乘圆周率乘半径的立方，球的体积公式就这样被杠杆称了出来。第八命题处理旋转抛物体，后面几个命题处理楔形和圆柱相交的立体，其中第十五命题算出两个垂直相交圆柱的公共部分恰是外切立方体的三分之二，这个如今叫斯坦因梅茨立体的图形，工程师到今天还在管道接头设计里跟它打交道。一封信里塞进这么多首战告捷的面积和体积，搁在今天足够发一整期期刊专辑。

杠杆在这里不只是道具，简直就是他的世界观。公元四世纪亚历山大的帕普斯在《数学汇编》第八卷里记下了那句名言：给我一个支点，我可以撬动整个地球。《方法》做的事情可以概括成一句更神气的话：给他一根杠杆，他能撬出任何面积。力学和数学在他手里不是两门学问，而是同一门手艺的粗工和细工，先用力气把结论搬出来，再用尺规把结论钉牢。这个形象与后世把应用数学和纯粹数学对立起来的习惯完全相反，读史至此，常常让人觉得现代人的分工才是奇怪的。

我每读到《方法》的序言都会想，如果这封信当年广为流传，如果不可分量的思想成为希腊数学的正统而不是私房手艺，微积分会不会提前一千年诞生？这个假设很诱人，但我倾向于认为不会。理由在后面几章会慢慢展开：没有十进制的成熟算术，没有代数的符号系统，没有运动学的问题压力，光有直觉是生不了火的。数学需要的是干柴、火种和有人不断吹气。

《方法》：失传一千八百年又回来了

《方法》的命运本身就是一部传奇。阿基米德死后，他的著作在古代世界流传的规模本来就不大，到中世纪，欧洲通行的只有《圆的度量》《球与圆柱》《抛物线弓形求积》等几种经由拜占庭和阿拉伯辗转保存的文本。《方法》从公元后几个世纪起就彻底失去了踪影，没有人引用，没有人抄录，学术界连它的存在都不知道。不可分量思想的最早文本，就这样从人类的桌面上消失了。

一八九九年前后，丹麦古典学者海贝格在君士坦丁堡获得线索：一座修道院的藏书里有一本脏兮兮的祈祷书，羊皮纸上写着一二二九年的祈祷文，但祈祷文的字迹下面隐隐透出更早的字。那是一本重写本：中世纪的羊皮纸太贵，修士们把旧书的字刮掉、洗净、旋转九十度，再写上新内容。海贝格一九零六年赶到君士坦丁堡，用放大镜逐页辨认，发现被刮掉底层竟是十世纪抄写的阿基米德著作，包括《方法》的全篇和《胃拼图》的大部分。这是震动学术界的时刻：一本失传一千八百年的书，以洗掉一层字的方式回来了。海贝格凭借肉眼和放大镜完成了初步转录，现代学术对阿基米德的全部理解由此改写。

这本重写本的内容清单长得惊人。底层被刮掉的，是一个十世纪的阿基米德抄本，一百七十多页羊皮纸，抄着七种著作：《平面图形的平衡》《螺线论》《圆的度量》《球与圆柱》《浮体论》《方法》和《胃拼图》。其中《浮体论》是存世唯一的希腊原文，此前学界只有中世纪拉丁文和阿拉伯文的转译本；《方法》和《胃拼图》更是全世界仅此一份。阿基米德之外，底层还藏着公元四世纪雅典演说家许佩里德斯的一篇失传演说，以及一份古代的亚里士多德《范畴篇》注释。一本祈祷书下面压着半个古代图书馆，羊皮纸的每一次昂贵都是文明的损失，也是偶然的丰收。

故事还有下文。这份抄本在二十世纪二零年代的战乱中再度消失，辗转流入巴黎一个私人藏家手中，期间还被人偷过，盗贼甚至在上面画了伪造的插画，用胶水糊住部分原文。一九九八年十月二十九日，它出现在纽约佳士得拍卖行，希腊政府出面竞拍也没能拦住，最终以两百万美元落槌，加上佣金约二百二十万美元，买家匿名。这位买家后来把抄本寄存在巴尔的摩的沃尔特斯艺术博物馆，从一九九九年起，一个团队用多光谱成像和 X 射线荧光技术逐页处理，到二零零八年，被祈祷文、霉菌和胶水反复折磨的字迹绝大部分被重新读出。

拍卖前后还有一段官司。希腊东正教会主张抄本是二十世纪初