结绳与刻痕

第 1 章 结绳与刻痕:人类最早的计数

数的历史不从一加一开始,从一根骨头开始。1970年代,考古学家彼得·博蒙特在南非与斯威士兰交界的莱邦博山脉边境洞里挖出一根狒狒的腓骨,大约一拃长,一侧刻着二十九道清晰的刻痕。后来地质学家重新测年,把它推到四万三千多年前。四万三千年前是什么概念?那时最后一季冰川还没退,欧洲的洞窟壁画要再等两万年才出现,最早的农耕要再等三万多年,最早的城市还要再等三万八千年。一个旧石器时代的猎人或采集者,在骨头上一道一道刻了二十九下。没人知道他在数什么,女人的月经周期、月亮的圆缺、围猎的天数、或者干脆就是某个漫长雨季里排遣无聊的手艺。但那二十九道刻痕是等距的、有节奏的,首尾还有起止的记号,它不像装饰,像账目。如果这个判断成立,那么人类摆弄数的痕迹,比文字早了将近四万年。

我们这本书就从这里出发。要讲清楚数怎么从刻痕一路走到无穷大,得先把最开头的一段路走稳:在没有文字、没有符号、甚至没有"数"这个词的时候,人是怎么开始数数的。这一章要处理三件事:考古实物到底能证明什么,没有数字符号的人群到底会不会数数,以及最早的计数硬件长什么样子。最后我会亮出贯穿全书的第一个论点。

莱邦博骨:二十九道刻痕悬案

莱邦博骨的名声来得晚。它出土后很长时间被当作普通骨器,直到有人注意到刻痕数目恰好是二十九,与一个朔望月的二十九天半惊人接近,"史前历法棒"的说法不胫而走。支持者把话说得很满:二十九道刻痕对应一个月,女人用它管理经期,部落用它安排祭祀,甚至有人据此论证当时已经有抽象的月份概念。怀疑者冷冷地回应:二十九也可以是二十九只猎物、二十九天没下雨、二十九次交割,或者刻痕的人数累了就停了。单一文物,单一数字,与月亮周期的吻合完全可能是巧合,毕竟从一到六十随便挑个数,总有几个能对上天象。

我倾向于站在怀疑者一边,但带着敬意。单个文物永远证明不了"懂历法"这么大的结论,可是这根骨头的细节确实越看越不像随手乱刻。刻痕成排,间距均匀,而且恰好落在二十九这个"月亮级"的数目上,即便不谈历法,也说明刻痕者在有意识地控制数量。类似的中欧标本更给力:1937年,卡尔·阿布索隆在捷克摩拉维亚的下维斯特尼采旧石器遗址挖出一根幼狼的桡骨,距今约三万年,上面刻了五十五道痕,明显五道一组,分作十一组。五十五恰好是十一乘五。分组本身就是数学行为,它意味着刻痕的人不满足于"再来一道"的机械叠加,而要让记号携带结构,让大数一眼可读。今天我们管这叫进位制的萌芽,用在狼骨身上话说得太满,但方向没错:五进制、十进制、六十进制,都是为了同一个目的服务的,后面十四章我们会反复撞见它。

还有一件事值得说破。莱邦博骨来自非洲南端,下维斯特尼采狼骨来自中欧,伊尚戈骨来自非洲中部,三件最早的"数数文物"散布三大遗址,年代错开一两万年,互不相干。这说明计数不是某个天才部落的单次发明,而是智人这个物种在走出非洲的路上,一次次自发长出来的共同倾向。发明可以传播,倾向只能各自萌发。法国考古学家在叙利亚、在黎凡特的旧石器晚期遗址里也找到过成组刻痕的骨质与石质物件,以色列的斯胡尔洞穴、俄罗斯松希尔墓地出土的串珠项链,珠子数目成组,像在标榜什么数目。这些零散证据拼在一起,构成一条断断续续的长线:数的历史,起点就带着这种多点起源的野性,没有唯一的发明人,没有传说中的第一个数数的人,只有无数个在某天黄昏决定再刻一道的人。

伊尚戈骨:七十年的罗生门

如果莱邦博骨是悬案,伊尚戈骨就是一桩错综的连续剧。1950年,比利时地质学家让·德·海因泽林在当时的比属刚果、今天刚果民主共和国东部的爱德华湖畔伊尚戈渔村发掘,在一处火山喷发掩埋的营地遗址里挖出一根发黑的骨头,顶端还嵌着一小块打磨锋利的石英,显然是某种切割工具的柄。尼罗河上游的一次火山活动把营地封存,反而成全了这根骨头:断成两截,三面布满刻痕。海因泽林数了数,发现了让他后半生念念不忘的东西。其中一面依次是十一、十三、十七、十九;另一面是十一、二十一、十九、九;第三面是三、六、四、八、十、五、五、七。

数字一摆出来,想象力就管不住了。十一、十三、十七、十九,连续四个素数,加起来恰好六十。第二面的四个数加起来也是六十。第三面里三和六成对,四和八成对,十和五配着两个五,像在演示加倍与减半。1970年代,海因泽林自己提出一套方案:这是一份六个朔望月的月亮历,六十是两个月的整数框架。后来各路人马上场,有主张中间一列是质数表的,等于说数论的萌芽比毕达哥拉斯早了两万八千年;有主张这是十进制与十二进制并用的算术教具的;比利时学者普莱策与荷兰人惠勒布罗克甚至在2010年代合作撰文,主张三列刻痕都以十二为基,六十与四十八都是十二的倍数,暗合"一打"的传统。反方也不含糊,他们重新检视刻痕,指出所谓"每列的数字"高度依赖誊读:有的刻痕深浅不一,有的疑似粘连,读作一道还是两道,全凭研究者的手气和预期,于是"规律"可以像墨渍测验一样随人意生长。

我的判断是,伊尚戈骨几乎肯定是一根记数棒,但几乎肯定不是质数表。理由很硬:素数的概念需要乘法与除法作为背景设施,需要"因子""整除"这些关系被明确意识到,而在两万年前的渔猎营地,考古学上看不到乘除法的任何物质痕迹。更可能的解释朴素得多:刻痕记录配给、鱼获、交换或者周期性的仪式,十一到十九恰好是人手与眼睛惯用的小数区间,倍数对也常见于分东西的实践。但请注意,即便按最保守的读法,这根骨头也在处理二十以内的数,并且做了分组与配对。也就是说,在农业发明之前一万多年,在陶器、青铜、文字统统没有影子的时代,已经有一群人在湖边认真计较"多少"了。

伊尚戈骨如今陈列在布鲁塞尔的比利时皇家自然科学研究院,展签写得小心翼翼,既不肯说是历法,也不肯说是算术,只说是刻痕骨器。展柜里那块嵌在骨头一端的石英,锋口已经磨钝。它削过鱼鳞,割过兽皮,最后和一组数字一起被火山灰封在湖边,睡了两万年。1970年代有地质学家重新核定地层,把伊尚戈遗址的年岁往上调到两万五千年上下,争论至今没有句号。这根骨头大概是数学史里被过度解读得最狠的一件文物,可换个角度想,我们之所以肯为一个数字猜测七十年,恰恰因为它是起点:一切账目、一切表格、一切天文历算,追到根上,都从某个这样的人、某根这样的骨头开始。

会数步子的蚂蚁与只数到三的部落

数数到底是天生的还是学来的?二十世纪下半叶,心理学家和动物行为学家联手把这个问题做成了实验科学,结论出乎意料地分裂。1992年,卡伦·温在《自然》上发表了一组著名实验:让五个月大的婴儿看玩具娃娃,幕布后一个加一个变成两个,婴儿无动于衷;一个加一个,掀开幕布还是一个,婴儿盯着看的时间显著变长。婴儿不懂语言,更不懂算术课,但他带着期待:一加一应该等于二。法国神经科学家德阿纳把这类证据整理成"数感"理论,认为人脑出厂自带两套系统,一套管近似数量,一套管四以内的小数目,精确的大数感不在出厂配置里。负责近似数感的脑区后来定位到顶叶的顶内沟,与空间感、手指感比邻而居,这个选址意味深长。

动物那边更精彩。京都大学的松泽哲郎花了三十年教黑猩猩"小爱"认阿拉伯数字,小爱能从触摸屏上把一到九按升序点出来,还能把屏幕上两堆点的个数加起来,再选出正确的数字牌。哥伦比亚心理学家博伊森的黑猩猩"希巴"更绝,面对几盘糖果,它先选数字符号再拿糖果,只要先选数字,它就会算,一旦糖果直接摆在眼前,情感就压倒算术,宁可少拿。哥伦比亚的布雷农与特雷斯在1998年证明,恒河猴未经训练就能把一至四按大小排序,错误率随数字间距拉大而下降,和人类的距离效应一模一样。鸟类也不甘示弱,佩珀伯格的非洲灰鹦鹉亚历克斯,经过三十年训练,能看着一组物件说出"几个",数目从零答到六上下,还能比较两堆谁多,2007年它去世时,讣告登上了《经济学人》。民间传说里乌鸦会数猎人,进塔楼要结伴进去结伴出来,好让乌鸦数不清人数,这类故事在实验心理学早期被当成笑谈,如今看来,底层的近似数感确实存在,只是离精确计数差着一整个文明的距离。2006年,《科学》杂志登了让行为学界服气的一篇:撒哈拉的箭蚁在没有地标的沙海上靠步数导航,研究者给一部分蚂蚁腿上粘猪鬃高跷,给另一部分截短步幅,踩高跷的蚂蚁走到目的地前就停下打转,截短的冲过了头,而放它们原路折返时,误差方向完全符合体内"计步器"的预测。蚂蚁不会数数,但蚂蚁会数步子。生物版的里程表,独立进化了不知道多少次。

反面教材来自亚马孙。语言学家丹尼尔·埃弗雷特在毗拉哈部落生活了三十年,起初抱着传教的念头去,最后带着无神论和一部语法回来,顺带报告了一个让语言学界炸锅的现象:毗拉哈语里只有"一个""两个"和"很多",连"三"都站不稳,没有递归从句,没有颜色专词,也没有创世神话。2008年,认知科学家与埃弗雷特合作设计配对实验:让毗拉哈人在几条线里挑出电池数量相同的那条,一到三枚,干脆利落;七枚对八枚,错误率陡升,参与者自己也承认,超过三,就只能估。当实验改成让他们一边看着目标数目、一边自己往罐子里放坚果,即时配对,他们又都能做对,说明缺的不是智力,是数词这套检索系统。论文的标题起得极好,叫《数:一种认知技术》。另一个部落蒙杜鲁库人,由法国心理学家皮卡带队,成果2004年发在《科学》上:他们没有大于五的精确数词,但近似估计相当在行,让他们把数量摆到线段上,间距服从对数压缩,数字越大越挤,和我们文明人的线性数轴不是一套几何。这意味着两件事:其一,近似数感是人类共享的底层硬件;其二,精确计数这道上层软件,必须由语言和文化来安装。毗拉哈人不是笨,他们只是拒绝安装,或者说,他们的文化里没有让这套软件变得划算的场景。埃弗雷特说部落老人问过他,学那些词干什么。这个反问比很多哲学论文都锋利。

把这些拼起来,图景就清楚了。人类生下来自带两套系统,一套管大概,一套管小数目,能精确分辨的上限大约是四。超出这个范围的部分,全部依靠文化发明来补。精确的大数感不是天赋,是一件人造物,和犁、和轮子、和文字一样,造出来之后普及开来,才显得像天性。凡是没有采纳这件工具的社群,四以上就是深渊。这个判断是全书的底座,后面每一章讲的,都是这件工具如何被一次次改装:给它配上泥板,配上算筹,配上零,配上代数,最后配上无穷。

结绳而治:从《周易》到印加奇普

精确计数这件工具,最早的外挂硬件有两种,一种是刻痕,一种是绳结。刻痕留在了骨头上,绳结则被中国的古书明确记了下来。《周易·系辞下》说:"上古结绳而治,后世圣人易之以书契,百官以治,万民以察。"东汉郑玄注得更细:"事大,大结其绳;事小,小结其绳。"大事打大结,小事打小结,一根绳就是一本账。许慎《说文解字》叙里也呼应此说,把结绳与书契列为先后两代记录术。有人考据说"记"字从"己"从"言",上古或以绳结为己身之记号,此说聊备一格。要紧的是,至少在汉代学者的历史记忆里,文字之前有结绳,结绳承担的就是记数与记事。人种志提供了活标本:琉球、夏威夷、非洲多地、北美印第安诸部、安第斯,结绳记事在世界各地独立出现,证明这确实是一个技术上的"容易解"。

做得最极致的是印加。印加帝国纵贯安第斯四千公里,没有文字,却有一套成建制的结绳系统,叫奇普。一具奇普由一根主绳和垂下的若干副绳组成,副绳上再挂子绳。数就打在绳上:个位用圈结,圈数即数目;十位、百位、千位则用单结,挂在绳的不同段位上;一根绳自下而上就是一部位值记数器,俨然纺织出来的算盘。掌管的官员叫奇普卡马约克,每个行政层级都有配置,从村落到帝国,人口、税赋、仓储、兵员,全在绳上流转。西班牙编年史家佩德罗·德·西恩加在1553年就写到,印加人"用绳结管理帝国,记下进出仓的每一斗玉米";1609年,印加与西班牙混血的历史学家印卡·加西拉索·德拉维加在《皇家评论》里追记母系亲属所述,写奇普的结有单结、双结、三结之分,以粗细分等次,读绳如读书。西班牙殖民者起初还用奇普核对账目,后来在"肃清偶像崇拜"运动中大量焚毁,怀疑绳中藏着神谕。今天幸存的约六百具,多出自沙漠墓葬。二十世纪末起,哈佛大学的乌尔顿建起奇普数据库,逐具记录绳色、捻向、结型,提出颜色编码类目、结型编码数值的双层结构:奇普不仅记数,还是半套书写系统。2021年前后,研究者更把秘鲁科利亚塔村一批殖民地早期的奇普与同期的西班牙文书对勘,发现其中三具记录的配额与人名能够逐条对上,结绳上的数字四百年后还能读出户口。绳子战胜了时间,输给了火。

顺带讲个反讽的结尾,主角换成英国。英国财政部用符木计数用了七百年, elm 木棍上刻槽记数,沿中线劈开,债权债务各执一半,两半合拢刻痕必须咬合,防伪性能比纸币还好,民间借贷也照此办理。1826年国会终于废除符木记账,1834年,威斯敏斯特宫的官吏奉命销毁堆积如山的库存符木,图省事,一车车倒进火炉猛烧,烟道过热引燃衬壁,火起于1834年10月16日傍晚,把议会大厦烧掉大半,伦家的版画让全伦敦看了场免费烟火。狄更斯后来在1855年一次演讲里挖苦这桩事故,说旧制度的木头活过了几个野蛮世纪,最后用一场大火完成谢幕。刻痕计数的退场方式如此隆重,倒是配得上它的资历:这是人类用得最久的记账技术,前后超过四万年。

手指、五进制与身体的遗产

数是抽象的,数数的器官却是具体的。人身上最现成的计数器是十根手指,十进制成为主流毫无悬念;一只手五根,五进制于是到处渗透,罗马数字的V、中文的一五一十、玛雅点横记数里的那一横,都是五的手影。两手两脚共二十,二十进制在中美洲由玛雅人推到极致,他们的进位符是一个眼睛形状的零,后面第4章的邻居们会羡慕;欧洲的化石藏在法语和丹麦语里,法语八十要说"四个二十",九十要说"四个二十加十",丹麦语七十是"第三个半二十",语言学家从这些褶皱里读出了古代北欧二十进制的遗体。巴布亚新几内亚的高地各族走得更远,奥克萨普明人用身体部位计数,从左手拇指起,挨个数过手腕凹处、前臂、肘弯、上臂、肩、锁骨、颈窝、眼睛、鼻梁,再到右侧对称部位,一共二十七个身体名就是二十七个数词,数到鼻梁是十四,数到右眼是二十六。人类学家杰弗里·萨克斯追踪奥克萨普明几十年,看着货币与学校进村,这套身体数字如何被借来的十进制一步步覆盖,老人还会下意识地摸一下肩膀再说"八"。

手指计数还留下了成文的遗产。罗马修辞学课本教演说家用左手打数字手势,一至九、十至九十、百至千各有指法,奥古斯丁在布道词里提过教会法会议用手指表决,哲罗姆则警告基督徒不得做"算命的手势",侧面说明这套指语多么普及。公元725年前后,可敬的比德写了《论用手指计算与时辰》小册子,把这套手势标准化,右手管个位十位、左手管百位千位的方案流传整个中世纪,欧洲市集上隔着人群比价,喧闹中无声成交,靠的就是这套手指语。达芬奇的手稿里画过手指数字,阿拉伯与印度文献也有各自的对应系统,印度教密宗的手印里甚至保留着数到十万级别的程式。有些语言痕迹至今可考:俄语"五"与"腕骨"同源,英语digit兼指数字与指趾,梵文的"五"与"手"血脉相连。甚至有一种体面的猜想,认为手指计数的"二五混合"结构,直接孕育了算盘的形制,上档一珠当五,下档一珠当一,梁上梁下,就是一只手的两种用法。身体是最早的算具,后来的一切算具,骨筹、算盘、帕斯卡加法器、电子计算机,都是这具身体的延长线。

数词的化石层:语言里埋着的计数史

语言是计数的另一个现场,数词的拼写与读音里埋着一层层地质年代。英语的eleven和twelve长得一点不像thirteen、fourteen,因为它们根本不是"十加几"的合成词,词源是"剩一"(one left)与"剩二"(two left),也就是数完十之后手上多出来的零头。这对化石证明,英语的祖先在说这两个词的时候,十是天然的上限,过了十的数被理解成"十个之外还剩几个",位值的概念远未成形。法语更夸张,数字到今天还带着二十进制的残肢:quatre-vingts是四个二十,quatre-vingt-dix是四个二十加十,直接数的话等于"二四得八十再加十"。巴黎有一座眼科医院,名字叫Quinze-Vingts,直译"十五个二十",因为它由法王圣路易在1260年创办,原计划收容三百名失明的十字军老兵。三百不用十的立方说,偏要用十五乘二十,二十进制在法国中世纪的日常里活着,而且活到了医院招牌上。

英语也有自己的二十进制坟场。score一词本义是刻痕,一痕记二十,林肯在葛底斯堡演说开头的"four score and seven years ago",八十七年不说八十七,说"四乘二十又七",腔调庄重得像神谕,因为二十进制在十七世纪的英语里还属于法律与诗歌的高雅方言,圣经公会的钦定本里,人丁的寿数常以score计。日耳曼语的一百曾叫"十个二十",丹麦语直到今天还残留"halfvtreds"这类"二分之一乘二十再乘? "式的怪词,语言学论文专门辟出篇幅解释丹麦人数词的构造,结论是,连丹麦人自己也说不清。数词是化石,化石会硌牙。

汉语的数词是另一副骨架。一至十之后,百、千、万各自独立成词,万以上有亿、兆、京、垓,汉代《数术记遗》里排出一串大数名目,万万为亿,万万亿为兆,层层翻番。更实用的一笔是大写数字,壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾,笔画繁复,读音与写法与常用字区隔,用途只有一个:防改。账册上"一"加一竖变"十","三"抹平变"二",大写让涂改无处下手。武则天时期已有推行记载,明代洪武年间重申,官账强制。这项发明透露的信息和符木的锯齿一样:数的记号一旦承载利益,就必须抗攻击,计数技术的进化压力,一半来自数学,一半来自作弊。

数词的谱系还能用来给文明断代。历史语言学家重构原始印欧语的数词,一到十齐全而止,推测其使用年代上万;原始南岛语有完整的十进制数词,散布成从马达加斯加到复活节岛的两千多种语言,数词比船还稳,成了追踪南岛人大迁徙的路标。反过来,数词的缺失同样有信息量,古埃及圣书体里分数只有单位分数一种写法,希腊文里"一万"以上的数要用"万"作单位叠着说,阿基米德要专门写《数沙者》才能造出记录沙粒数目的命名系统。数词像地层,挖下去,能看出每个文明把计数这道墙砌到了第几层。

序数、基数与"多"的深渊

数词看起来铁板一块,实际上缝着两个截然不同的概念。第一个是序数,第一、第二、第三,回答"排在哪";第二个是基数,一个、两个、三个,回答"有几个"。逻辑学家弗雷格在十九世纪末用一整套逻辑装置严格切开这两者,并给"数"下了一个石破天惊的定义,那是第12章的重头戏;但孩子学数的过程早就把这两者的区别演了出来。皮亚杰最早注意到,四五岁的孩子能把一排八个扣子数到八,却回答不出"从右边数第三个是哪一个",数数像背咒语,次序与总量还没接通。发展心理学家格尔曼与加利斯特尔1978年总结幼儿计数的原则:数词次序必须稳定,念到的物件与数词必须一一对应,不许重也不许漏,最后念出的那个数词就是总数,而且数什么东西都行,饼干、声音、分钟,一视同仁。其中"最后念出的数词就是总数"这条,行话叫基数原则,是孩子最后一次跨过的门槛,跨过去之前,数到八就是数了八声,不是八个。孩子大约三到四岁把这些原则跑通,大人觉得天经地义,其实这套规程是全部计数技术的核心引擎,奇普上的绳结、符木上的刻痕、泥板上的楔子,干的全是同一件事:把"多少"翻译成"次序加对应"。这两个概念后来被康托尔推到无穷上,得到石破天惊的结果,无穷也有大小之分,而且分等级,那是第10章的正戏,这里先按下不表。