赌徒的问题

第1章 赌徒的问题

1654年夏天的一封信

1654年7月29日，巴黎。布莱兹·帕斯卡给远在图卢兹的皮埃尔·德·费马写信。这封信本身没有留存下来，但通过两人共同的朋友皮埃尔·德·卡尔卡维居间转递，以及费马随后的回信和帕斯卡8月24日的长信，那个夏天交换的内容有一部分传到了今天。信里谈的不是神学，不是圆锥曲线，而是一件看起来毫不体面的事：两个赌徒中途弃局，桌面上的赌注该怎么分。帕斯卡在信里明白地说，他与梅雷骑士讨论过这个问题，而这位骑士，用他原话的通行译法来说，很有头脑，但不是几何学家。这句话后来成了数学史上被引用得最多的损人评语之一，也常常被当成概率论出生证上的一行字。

我愿意把1654年的这个夏天看作全书真正的起点。当然，任何学科的生日都带一点后人追认的味道，历史从不守时。印度人和阿拉伯人早就讨论过组合的计数，意大利人在三四百年里一直跟骰子较劲，但这些努力要么是孤立的结果，要么缺乏统一的框架。1654年不同。那一年夏天，欧洲最好的两位数学家为了同一个赌桌问题通信数月，第一次把随机事件的数学处理当成了值得认真对待的数学对象本身，而不是某个账本问题的附属品。伊恩·哈金在1975年那本《概率的突现》里给出了一个著名的判断：大约在1660年前后，一个新观念在西方思想中出现了，那就是偶然可以被度量。这句话你可以争论，但争论的余地恰好说明1654年是个分水岭，而不是又一座平淡的山丘。

通信的细节本身也值得多说两句。现存的信件只有五六封，有几封只剩残缺的抄本，日期与顺序全靠学者们在一堆副本里爬梳，十九世纪才整理出个大概。7月29日帕斯卡去信，费马回信，帕斯卡8月24日再回，中间还夹着一封梅雷问题已经解决之后帕斯卡关于另一种骰子赌局的追问，10月27日帕斯卡写了告别意味的长信，随后通信中断。巴黎到图卢兹将近七百公里，十七世纪中叶一封信在路上要走四五天，一来一回加上誊抄，一个回合常常要半个月。以今天即时通信的标准看，这场对话慢得让人着急；可正是这种慢，逼着写信人把每一步推理写足、把每种情形列全，因为信一旦发出就收不回来。概率论最早的文献以通信的形式存在，不全是因为两位数学家懒于成书，也是因为那个时代的数学思考本来就是以书信的节奏展开的。一个月后，11月23日夜里，帕斯卡经历了那次著名的神秘体验，从此告别数学，退入波尔罗亚尔。也就是说，概率论的创世通信发生在悬崖边上，是这位天才在告别数学前的最后一次长谈。了解了这个背景，那几封信里反复出现的急切、兴奋甚至失眠，就不只是客套了。帕斯卡在8月24日的信里说，读到费马的方法与他自己的方法殊途同归时的快乐，隔着三百多年还烫手。

信里到底谈了什么，下一章会进入细节，这里先交代轮廓。两人讨论了两个题目：一是点数问题的一般解法，帕斯卡用递推，费马用枚举，答案一致；二是梅雷的骰子赌局，两人顺手把概率也算了清楚。通信的语气值得留意。帕斯卡年轻气盛，急于展示自己的解法，一遍遍追问费马是否认可；费马则从容得多，他当时五十三岁，是图卢兹高等法院的资深法官，数学于他是法庭下班后的深夜爱好。他反复表示，两人方法不同而结果相同，恰恰说明真理是客观的：如果两个独立的头脑殊途同归，那结论就不属于任何一个人，而属于真理本身。这种对待数学的态度，在当时是稀罕物。十七世纪的学者为优先权可以撕破脸，费马却连发表的兴趣都没有，他一生没有为出版任何数学著作费过心，弄得后世只能从书信和旁人的引用里拼他的全集。

这一章我想把镜头拉远，先看清楚这位把问题带到帕斯卡面前的赌徒，再沿着时间往回走，看看人类掷了几千年骰子却没有算过一次概率，以及在这道题上摔倒过的那些意大利人。把前史讲透了，你才能体会1654年那个夏天到底新在哪里。

德·梅雷骑士：比传说里更聪明的人

安托万·贡博，人称德·梅雷骑士，1607年生，1648年入选法兰西学术院，是路易十四宫廷里一个讲究文采与风度的贵族沙龙人物。他不是职业赌徒，至少不是我们想象中那种在昏暗赌窟里输红了眼的角色。他更像一个把赌博当作社交礼仪和智力竞技的绅士，写过谈论优雅谈话艺术的小册子，还认真主张过贵族决斗对国家有害。这样的人跑到数学家面前提问题，不是去求一个答案，而是去验证自己的直觉。1646年前后他在鲁昂结识了帕斯卡的父亲艾蒂安，从此跟这一家子断断续续往来。梅雷教帕斯卡社交和仪态，劝他别把日子全埋进几何里，帕斯卡则偶尔陪他算账。这笔交易谁吃亏还不好说。

留给后人的是两个问题。第一个后来叫分赌本问题，也叫点数问题，说的是一场需要若干胜局才能分出胜负的游戏中途被打断，两人比分不是平手，桌面上的赌注该怎么公平地分掉。第二个是掷骰子的具体算账：掷一颗骰子，赌某个指定点数在四次之内出现，长期玩下去对赌客有利；掷两颗骰子赌双六，直觉按比例推过去，应该是二十四次之内出现对赌客有利，可梅雷在牌桌上发现，前者赢多输少，后者却赢得没有那么多，仔细一算竟是输的。梅雷想知道哪里出了错。

第二个问题今天的中学生动笔就能算。掷一颗骰子四次，至少出现一次目标点数的概率是1减去六分之五的四次方，约0.5177，略过半数。掷两颗骰子二十四次，至少出现一次双六的概率是1减去三十六分之三十五的二十四次方，约0.4914，略低于一半。赌场里这两个小小的缺口，就是庄家利润的来源。麻烦在于比例直觉错了：四次对应六分之一的可能，线性放大到二十四次去对应三十六分之一的可能，这种换算在概率的世界里行不通，因为概率按幂次累积而不是按比例伸缩。顺便说一句，正确的门槛是二十五次，那时光是双六的赢面才刚刚过半。梅雷的困惑是一个真困惑，不是笨人的粗心。

这里要替骑士说句公道话。后世多少把他说成一个只会数钱的赌棍，笑话他把赌博的账算错了。可是把问题提对，本身就是本事。他敏锐地察觉两个赌局之间存在不对称，并且坚持要一个解释，还要拿着这个解释去跟帕斯卡这样的头脑对质。斯蒂格勒在1980年提出过一条命名法则，说科学史上的定理几乎没有以第一个发现者的名字命名的；套到梅雷身上，他是那个没有留下定理却留下了问题的人，而一门学科的起点，往往是问题而非定理。至于帕斯卡那句不是几何学家的评语，与其说是贬低，不如说是当时数学家面对贵族业余爱好者的标准口吻：你脑筋不错，可惜不肯下笨功夫。梅雷的脑筋确实不错，他只是缺一套工具。

关于梅雷还有一桩学术公案。有学者怀疑，点数问题未必是他从赌桌上带来的，因为这道题在意大利算术书里流传了一百多年，帕斯卡完全可能从别的渠道读到过，梅雷顶多是提醒他这题值钱。这个怀疑有道理，但也没必要把钟摆荡到另一头。梅雷至少干了两件实事：他把两个问题从实用的世界里拎出来，赋予了它们智力游戏的体面；他还用自己的输赢记录给数学家施加了压力，让这道题从纸面趣题变成了有现实对错的账。前者决定问题会不会被研究，后者决定研究完怎么验证。一个真正的赌徒给科学的最大贡献，往往就是他输掉的钱，那是理论最初的实验数据。

骰子很老，问题很新

要理解1654年为什么是新起点，得先承认一件尴尬的事：骰子比金字塔年轻不了多少，而概率的数学几乎跟蒸汽机一样晚。考古学家在美索不达米亚和印度河遗址里挖出的羊距骨，是掷骰游戏最早的载体，五千年前的人就用它赌运气。这种骨头扔出去有四个面能稳定落地，而且各面的机会并不相等，被后世希腊罗马人接着用，还起了名字。希腊人管扔出四个不同面叫阿佛洛狄忒之掷，是最高分；罗马士兵在十字架下分耶稣的衣服，用的多半就是这种骨头。奥古斯都皇帝热衷掷骰，苏维托尼乌斯的传记里保留了他写给客人的邀请函，赢家赔率如何安排写得客客气气。换句话说，赌是全人类最古老、最普遍的娱乐之一。

可是几千年里，没有人给骰子列过一张等可能结果的清单。原因不难猜。第一，随机在古人心目中不是数学对象而是神意或命运，占卜的骰子是问神的工具，问神的人不数频率。第二，古代数学的身份是确定性的知识，从欧几里得到丢番图，数学处理的是永恒不变的真理，一摊会变的东西进不了这个门。第三，也是最实际的：没有等可能性的概念，就算你想算，也无从下笔。诚实的骰子每一面机会相同，这句话要成为数学公理，先得承认骰子可以理想化，而理想化正是数学家的看家本领，古人在这里偏偏没有出手。佛罗伦斯·南丁格尔·大卫在1962年的《游戏、神明与赌博》里梳理过这整段前史，她的结论干脆：十七世纪之前有的是赌博的文献，没有一门赌博的科学。

拿羊距骨再说两句，因为它最能说明古人离概率有多近又多远。这种骨头窄面凸起，四个能落地的面机会并不均等，后来有人做过实测，标1和6的两个窄面各占约十分之一，标3和4的两个宽面各占约五分之二。也就是说，古人手里的骰子天生就是有偏的，他们天天在玩一个不等可能的随机装置，却从没有人想过把这四个面的不均等记下来换算成输赢的公平赔率。他们只是接受它，把它当作运气的一部分。概率的诞生需要一种心理上的越狱，得先承认随机装置有稳定的数学结构，才谈得上计算它。这一步心理准备，直到文艺复兴的算术家们把骰子搬进商业数学的账本，才勉强凑齐。

补一句容易被忽略的旁证。伊斯兰的继承法精密地处理分数，中世纪的律师和商人天天在不确定下讨价还价，教会法学家对或然意见的讨论细致入微，可他们对掷骰子的兴趣都停在输赢和道德上。或然的世界很大，可算的机遇很小，这两者之间的桥，要到十七世纪中叶才架起来。这不是古人笨，是问题还没有安放的位置。哲学史家达斯顿后来在《启蒙运动的古典概率》里提醒我们，概率这个观念本身就拖着两条腿，一条是对机会的度量，一条是对信念的度量，十七世纪同时迈出了这两条腿，事情才起变化。

帕乔利的账本与塔尔塔利亚的怒气

分赌本问题比梅雷老了不止一个半世纪。1494年，方济各会修士卢卡·帕乔利在威尼斯出版《算术、几何、比与比例概要》，那部俗称《大全》的巨著是文艺复兴数学的百科全书，复式记账法就出自其中，至今全世界的会计还在用。在这部书的末尾，帕乔利提出了这么一个问题：两个技巧相当的人玩一种以六十分为满贯的球戏，一个拿到五十分，另一个拿到三十分，桌上押了十个金币，游戏进行不下去了，怎么分。帕乔利给的答案是按现有得分五比三来分，六点二五对三点七五个金币。这个答案在直觉上很有欺骗性，因为公平听起来就应该是按成绩比例。可是它经不起追问。如果比分会是五十九比零呢？按比例，落后者一个子儿也拿不到；可只要比赛没结束，落后者理论上仍有翻盘的可能，凭什么剥夺他这份可能。再极端一点，五十九比五十八，两人只差一分，按比例分，一方几乎拿走全部，这怎么想都不对劲。

帕乔利的错，逼着每一个后来者回答同一个问题：公平到底指什么。尼科洛·塔尔塔利亚在1556年的《论数与度量》里发起了攻击。这位因幼年在布雷西亚被法国兵砍伤下颌、说话结巴而得此外号的数学家，一生好斗，最出名的事迹是跟卡尔达诺围绕三次方程解法的那场世纪恩怨。他批评帕乔利的分法明显不平等，应该考虑各人距离满贯还差多少，然后给出了自己的方案，按剩余需求的比例调整。可惜他的公式在简单情形给出正确答案，情形一复杂就散架，而且他讲不出原则，更像一堆修修补补的特例。十六世纪意大利的算术家们，包括富雷斯蒂、佩韦罗内等人，围绕这个问题你来我往，有人的特例算对了，却说不清为什么对。他们共同的盲区在于，都试图从已经发生的比分出发去切分赌注，把公平理解为对既成战果的公平，而不是对未然机会的公平。这一步转不过来，问题就永远解不开。

回头看，这段意大利公案的价值不在答案，而在于它把一个赌桌纠纷提升成了数学书里的标准题型。帕乔利把问题写进《大全》，等于给了它一个公开的身份，此后七八十年，每一代意大利算术书都要处理一遍，错了改，改了还错。问题就这样被养熟了，只等一个既有头脑又有闲暇的人把它拎到正确的高度。历史有时候就是这样，先要有一批人前赴后继地失败，成功才有落脚的地方。

还有一层背景常被忽略：这道题不是帕乔利一个人的发明。学者们在更早的意大利算术手稿里也找到过类似的分赌本练习，说明它是商业数学课堂上流传的成题，帕乔利只是第一个把它印进大书的人。十四到十六世纪，意大利的算术学校教商人的儿子算复利、算汇率、算合伙分红，分赌本问题天然属于这个家族：它本质上就是一个合伙清算问题，几个合伙人投入本金，事业中途散伙，各按某种公平原则分账。商人的公平看投入与契约，赌徒的公平看运气与机会，两套公平在账本上长得一模一样，这大概正是问题能从赌桌爬进教科书的原因。等到帕斯卡接手时，它已经是一道被印刷术标准化了一百五十年的老题，只是始终没人做对。

卡尔达诺写了一本没人读的书

在这串名字里，吉罗拉莫·卡尔达诺是个异数。这位米兰的医生、代数学家、占星术士，脾气糟糕，一生诉讼缠身，因为给耶稣排星盘坐过宗教裁判所的牢，晚年被儿子气得半死。他嗜赌，自己承认骰子和棋盘占掉了他成年后大量的时间，每天至少要碰一碰。大约在1564年前后，他写了一本《论赌博》，把这些年赢钱的心得整理成一部小书，讨论骰子、纸牌和棋盘游戏里的机会。这本书在他生前一直没有出版，直到1663年才被收进他在里昂印行的全集，与世人见面。也就是说，当帕斯卡和费马在1654年通信的时候，谁也不知道卡尔达诺写过这么一本东西。它对概率论的诞生没有任何直接影响，这大概是数学史上最干净的一次错过。

可它是真金。卡尔达诺在书里给出了概率论需要的三块基石。第一块是样本空间的雏形：他明确说骰子是诚实的，每一面出现的机会相同，掷两颗骰子有三十六种等可能落法，掷三颗有二百一十六种，他把这些清单老老实实列了出来。第二块是频率的信念：他断言，观察的次数足够多，每种结果出现的次数会接近理论比例，掷一千八百次骰子，每个点数大约各出现三百次。第三块是他所谓的循环，也就是使某种结果出现成为均等赌局所需要的平均次数，这已经是二项概率的萌芽。书中有一章专算点数问题，他的思路一会儿对一会儿歪，在最简单的情形给出了正确答案，却没有一般的方法，更没有意识到自己手里这三块石头能盖一座房子。

历史学家安德斯·哈尔德在《概率与统计史》里对卡尔达诺评价很高，认为他是第一个真正拥有机遇频率概念的人。我的看法稍微保守一点：卡尔达诺证明了单个数学家凭一己之才可以走到多远，也证明了没有问题传统和交流的土壤，再远的孤军深入都会失传。一门学科需要一场对话，而不是一份隐秘的手稿。还有一层更微妙的东西。卡尔达诺写这本书的动机一半是赢钱，他在书里不厌其烦地教人怎么在赌桌上占便宜，甚至教人怎么作弊。知识在他手里是武器；而在帕斯卡手里，同样的知识会变成法理。同样的计算，动机不同，命运就不同，这是科学史反复上演的戏码。

卡尔达诺这个人临死还给后人留了一个概率式的笑话。他一生以占星术自负，曾经给自己算过命，断言自己活不过1576年9月21日。到了那天他还好端端活着，据说他为了维护自己学术声誉的尊严，绝食而死，硬是把预言变成了事实。这件事真伪难考，但寓言性极强：一个人可以同时是概率思想的先驱和宿命论的奴隶。他算得出骰子的频率，却算不赢自己心里那个非要把偶然钉死的执念。跟这样的前辈比，帕斯卡和费马那种把赌局当作纯粹数学对象来把玩的超然，才是真正的新东西。

伽利略的二百一十六种结果

大约1620年前后，伽利略写了一篇短文《关于骰子的发现》，流传下来时标题已不确定，内容倒是清楚：应托斯卡纳大公之邀，回答一个赌桌上的疑问。掷三颗骰子，点数之和为十与为九都可以写成六个部分和的形式，为什么长期观察下来十比九出现得略多一点。这个问题跟点数问题一样，问的人是想赢钱的玩家，答的人却是当时欧洲最好的物理学家，而伽利略答得一丝不苟。他把三颗骰子的全部落法列成二百一十六种，然后数出和为十的有二十七种，和为九的有二十五种，差距的来源就水落石出。

这里面的小机关值得展开，因为它最能说明什么叫数学的眼睛。把九拆成三个一到六的数，有六种拆法：一加二加六，一加三加五，一加四加四，二加二加五，二加三加四，三加三加三。可这六种拆法在骰桌上并不同价。一、二、六三个数互不相同，对应六种排列；一、四、四有两个数相同，只对应三种；三、三、三只对应一种。加权一算，九实际上只有二十五种落法。而十的六种拆法里，一加三加六、一加四加五、二加三加五各有六种排列，二加二加六、二加四加四、三加三加四各三种，合计二十七。拆法个数相同，落法个数差二，赌桌上的天平就斜了。把不可分辨的拆法换算成可分辨的落法，这一步在组合数学里叫做处理有重复元素的排列，伽利略处理得干干净净。

问题在于他到此为止。这篇文章没有追问这种算法的普遍意义，没有尝试别的游戏，没有提出等可能性的一般框架，甚至在他生前都没有发表，1718年才正式印行。伽利略正忙着望远镜、木卫和宗教裁判所，骰子上的这一点小事，对他而言只是一次茶余的技术咨询。可对概率论而言，这是又一次孤立的、无传承的正确。帕乔利、塔尔塔利亚、卡尔达诺、伽利略，四代人各自摸到了大象的一部分，谁也没能把象拼出来。要到1654年，两个身在两地、素未谋面的人隔着七百公里通信，象才第一次站起来。

值得一提的还有这篇短文的服务对象。伽利略一生欠着美第奇家族的人情，他的木卫命名就是献给这一家的，大公府上的闲问他也从不怠慢。宫廷在这件事里扮演的角色耐人寻味：贵族赌客有钱有闲，输赢的绝对值大到值得请一位御前数学家，于是一些原本难登大雅之堂的问题，顺着宫廷社交的管道流进了最高的学术头脑。梅雷之于帕斯卡，托斯卡纳大公之于伽利略，是同一条管道上的两个阀门。科学社会学喜欢讲问题的来源，概率论的早期来源清单里，宫廷赌桌得记上一笔。

帕斯卡的最后数学岁月

再说回帕斯卡。1623年生于克莱蒙，三岁丧母，父亲艾蒂安是税务官员兼业余数学家，亲自担起教育之责，家里立了规矩，几何书要等孩子长到十几岁才准看，结果小帕斯卡十二岁自己用木炭在地上推出了欧几里得的前三十二条定理，据说包括三角形的内角和。十六岁发表论圆锥曲线的短文，留下帕斯卡定理，笛卡尔看了都不肯相信出自少年之手。十九岁到二十出头，他为减轻父亲税务计算的负担，设计并督造了一台能做加减法的齿轮计算机器，先后做了几十台样机，是机械计算史上的里程碑。到这时他的身体已经不行，偏头痛、肠胃病和失眠缠了他一辈子。1646年全家经历宗教上的第一次转向，1651年父亲去世，妹妹雅克利娜进了波尔罗亚尔修道院，他自己则在巴黎的社交圈里进进出出，日子过得并不安生。

1654年他三十一岁，正处在人生中最后一段高强度的数学时期。这几年里他完成了关于算术三角形的论著，参与了摆线求积的研究，还断断续续跟梅雷讨论赌桌上的账目。数学史家喜欢说，如果没有那场赌桌问答，帕斯卡的天才大概会全部献给宗教与文学，概率论就要再等几十年。这话没法验证，但它点出一个事实：那个夏天的通信，是帕斯卡数学遗嘱的一部分。他自己在给费马的信里说，这些研究让他体会到了从未有过的快乐，还说分赌本的问题一旦想通，你会惊讶它竟然这么简单，而此前它显得那么难。

那年11月23日夜间，帕斯卡经历了一次剧烈的神秘体验，后来人们在缝进他外套衬里的那张羊皮纸上，读到他潦草写下的记念文字，开头的几个词是火、亚伯拉罕的上帝、以撒的上帝。那晚之后的1655年初，他撤进波尔罗亚尔隐居，基本上告别了数学，转而写下大量的宗教论辩文字，后来被整理成《思想录》。有趣的是，即便在《思想录》里，概率也没有真正离开他。他为信仰辩护的那段著名论证，后世称之为帕斯卡赌注的，用的恰恰是那个夏天炼成的工具：上帝存在与否无法证明，但可以把两种选择当作两场赌局，比较各自的期望