数学起源

第 1 章 数学的起源：从一根骨头到一座文明

要讲数学如何塑造文明，得先回到一个尴尬的问题跟前：数学到底是被发明的，还是被发现的？这个问题哲学家吵了两千年没有结果，但考古学家替我们保留了一个更有趣的现场。在南部非洲斯威士兰的莱邦博山洞里，出土过一根狒狒的腓骨，上面刻着二十九道整齐的切口，年代距今约三万五千年。在刚果民主共和国与乌干达交界处的伊尚戈，一九六零年比利时地质学家德海因泽兰又挖出一根两万年前的骨器，一端镶着石英，柄上分成三组刻痕，一组十一道，一组十三道，一组十七道，都是素数。没有人为这些骨头写过说明书，我们永远无法确知刻痕的人在数什么，是猎物，是月亮的天数，还是债务。但有一点可以确定：早在城市、文字、国家出现之前，人类已经开始做一件很特别的事，把世界上的东西变成一道一道可以数的刻痕。

这本书要讲的就是这件事的后事。从那根骨头出发，数学一路参与了粮仓的建造、土地的分配、神庙的设计、行星的追踪、炮弹的弹道、保险的定价、计算机的运行，直到今天你手机里每一次加密。莫里斯·克莱因在那部厚得能砸死人的《古今数学思想》开篇就摆明了立场，他说数学在埃及和美索不达米亚的源头是务实到不能再务实的需求，丈量土地、分配粮食、征收赋税、编制历法，一句话，数学是文明的手艺，不是天才的闲棋。我大体接受这个判断，但我一直觉得它只说了一半。需求能解释数学为什么被需要，解释不了数学为什么一旦开始就停不下来。后面十五章里，我们会反复看到这种停不下来。

从两根骨头说起

先别急着相信刻痕。考古报告里的数字常带水分，比如伊尚戈骨的素数解读，数学史界就有不少人撇嘴，说那三组数更可能是记事符号，素数的说法是数学家的一厢情愿，因为十一、十三、十七凑在一起太像给我们后人递话了。这个怀疑很有必要，它提醒我们，研究起源最忌讳的就是把今天的知识倒贴到古人脸上。可即便把素数的浪漫成分全部挤掉，这两根骨头仍然改变了一件大事，它们把数学的年龄大大提前了。十九世纪的欧洲学者普遍相信，数学是希腊人的独创，之前的民族只有经验没有学问；后来泥板和纸草一件件出土，人们才发现希腊人自己都承认欠了埃及人和巴比伦人的债，希罗多德和亚里士多德的著作里都有这样的证词。而骨头又告诉我们，连埃及人和巴比伦人也不是起点，起点埋在旧石器时代的篝火边上。

数感这件事还不是人类的专利，这一层证据同样重要。实验室里的恒河猴经过训练能按数量多少排序两组圆点，蜜蜂能数到四，狮子在决定是否入侵邻群领地前，会先吼叫清点对方数量，把自己这边的头数与对方比较，数量劣势明显就撤退，这是芝加哥大学的动物学家在塞伦盖蒂用播放吼声录音的方法验证过的。更晚近的研究连两栖类都没放过，蝾螈能区分两块和四块的食物。这些例子堆在一起指向一个结论：感知多与少，是神经系统的一项古老配置，跟感知明暗、冷热属于同一个层级。一九九二年，心理学家凯伦·温发表过一个著名的实验，五个月大的婴儿看一个玩偶被幕布后藏进去又藏一个，如果随后幕布拉开只剩一个，婴儿会盯着看更久，说明数量对不上引起了注意。神经科学家里亚纳·德阿纳据此提出，人脑里存在近似数系统，一种不精确、依从韦伯定律的感觉，同时存在精确计数系统，后者依赖语言和符号，是人类独有的。粗略的数感几亿年的演化史，精确的计数几万年，符号化的数学几千年，这三层地质结构叠在每个人的脑子里。数学的起源问题因此要分两层回答：数感是演化的馈赠，数学是文化的建构，而后者是对前者的不断越狱。

从一根骨头到一门学问之间，隔着人类认知史上最漫长也最沉默的一跃。你不妨做个思想实验：一个没有数词的语言能不能数数？答案是能，而且这样的语言今天还存在。亚马逊的毗拉哈人没有大于二的精确数词，但他们靠一一对应的原则办事，要核对独木舟里的箭够不够人手一份，就给每人发一支，发完了箭还剩，就是多，不够，就是少。一一对应是个了不起的原则，它不需要任何抽象符号，却完成了计数最核心的功能。我甚至愿意说，一一对应才是数学的第一块基石，数词、数字、进位制都是后来补的装修。莱茵德纸草书里的埃及书记官、二战密码破译站里的图灵，用的其实是同一个原则，只是外包装差了四千年。

骨头上的刻痕还有一层意味，它把计数变成了可以保存、可以核对、可以传递的东西。口头计数随生随灭，刻痕不会。一旦计数有了实物载体，跨人的协作就可能出现，你刻的道道我能认，我就能接着数下去。美国得克萨斯大学的考古学家施曼特-贝瑟拉从一九六六年起系统研究了近东出土的几千枚小陶筹，她的结论曾经震动学界：在文字发明之前，两河流域的人用形状大小各异的陶土计数符记录谷物、牲畜和油，后来为了防篡改把计数符封进泥壳封套，再后来干脆在封套外面压印计数符的形状，最后有人醒悟，既然压印已经能代表内容物，封套里的实物就多余了。于是约公元前三千二百年前后的乌鲁克，压印着符号的泥板出现了，这就是人类最早的文字，而它首先是一种会计文字。换句话说，不是数学等来了文字，是文字从数学的肚子里生出来。这个学说几十年间被修正了不少细节，但其骨架至今立得住，也成了数学塑造文明的第一个铁证：为了记账，人类发明了书写。

数是怎样从东西里挣脱出来的

抽象的数不是天上掉下来的，语言里到处留着它挣扎的胎记。你去看各种语言的数词，会发现早期的人类数东西是分对象的，古英语数人和数物用不同的词根，汉语里至今留着一口猪、一匹马、一条狗、一艘船，量词系统就是那个古老时代的活化石：数从来不是独立存在的，它黏在东西上。日语数细长的东西用本、数扁平的用枚，这个逻辑推到极致，就是没有五这个纯粹的数，只有五条鱼、五根柴。要从五条鱼里看出五，需要一次认知上的脱钩，把数量从被数对象的全部属性里剥出来，只留下一一对应关系本身。这次脱钩是悄悄完成的，没有署名，没有日期，但我们知道它必须发生在数词系统成型之前。

证据之一是数词里残留的非十进制。英语的十一和十二不长成十几的样子，因为日耳曼语言的祖先用的是十二进制和二十进制的混合，法语今天还在用四个二十说八十，用四个二十加十说九十，丹麦语说九十要绕到两个半乘五个二十。这些语言的化石层说明，十进制的胜利不是逻辑的胜利，是解剖学的胜利，我们有十根手指，仅此而已。如果人类有八根手指，今天计算机和人类的交流会顺畅得多，八进制天生就是二进制的马甲。玛雅人手指脚趾并用，搞出了二十进制；巴比伦人在六十上收口，六十进制做除法极其方便，能被一、二、三、四、五、六、十、十二、十五、二十、三十整除，这才有了把一小时分成六十分、一圈分成三百六十度的传统，你的手表表盘至今是一块四千年前的泥板。

证据之二是身体计数。直到近代，新几内亚的高地部族还在用身体部位当数轴，从左手小指起数，数到手腕、肘、肩、头，再顺着右臂下来，一套身体部位对应一套数名。这种系统的精妙之处在于它自带顺序，也自带限度，数到右小指就结束了，再大的数只能说很多。数的进步史，某种意义上就是突破身体限度的历史：手指不够用，用刻痕；刻痕不够用，用算筹和算盘；算盘不够用，用位值制让同一个数字在不同的位置上表示不同的数量级。每一次突破，都是把数的载体从身体上再剥离一层。

手指在这段历史里扮演的角色，怎么强调都不过分。罗马人有一整套手指计数法，左手表示个位十位，右手表示百位千位，中世纪欧洲的商人靠它跨语言讨价还价，公元八世纪英格兰僧侣比德专门写过小册子介绍用手指表示日期和数字的办法，可见那是一套需要教学的标准系统。手指计数还留下了职业遗迹，俄国财政部门的手续费单位一度指的就是伸手指头的动作。十进制不是被选出来的，是被我们的手决定?这个说法在学界基本没有反对者，反对者只反对把它说得过满，因为二十进制和六十进制同样从身体和历法里长出来过。身体的遗产还包括另一项，五与十的亲和力如此之强，以至于五进制的历史比十进制更老，罗马数字里五有专门的符号，算盘的上下档也按五分组。今天幼儿园老师教孩子先认五和十的关系，其实是在重演史前。

剥离的终点是符号。当某个楔形文字的书写者用同一个符号系统去数羊、数粮食、数俘虏，而符号本身不再画成羊的样子，抽象数就诞生了。这之后的一切，从毕达哥拉斯到布尔巴基，都是在这个地基上加盖楼层。我常提醒学生别小看这一步，今天一个幼儿园孩子都懂的道理，人类花了几万年才走通，而且各个文明是各自走通的，谁也没抄谁的作业。数学最深的普遍性就在这里：它不是某个民族的方言，而是人类这个物种认知配置的自然展开。

农业革命与最早的账本

约一万两千年前，末次冰期结束，新月沃地的人开始驯化小麦和绵羊。农业对数学的索取是全方位的，这是克莱因反复强调的因果链。狩猎采集的日子里，食物现取现吃，对数的需求止于一一对应；一旦种下庄稼，你就必须回答一连串要命的问题：种下去多少种子，留多少口粮，缴多少给神庙，明年借出去的种子收成后该还多少，歉收的月份怎么分配存粮。每一问都要求把数量记录下来、比较大小、做加减甚至按比例摊派。于是农业不只是填饱了更多肚子，还逼出了人类第一批必须精确的社会关系，而精确的社会关系必须有数学在场。

神庙是这场革命的记账中心。在乌鲁克出土的早期泥板里，占压倒性多数是经济文书：大麦的入库单、牲畜的清册、配给啤酒的名录。这些泥板上的数字大得惊人，动辄以万计的大麦单位，说明管理者面对的已经不是一家一户的账，而是成千上万人的再分配体系。考古学家尼森估计，早期乌鲁克的人口规模已经需要职业化的行政，而行政就是被制度化的算术。你可以说国家这个发明的一半是暴力，另一半是簿记，剩下的一半才是神话。美索不达米亚的书记学校里，孩子们抄写的练习题里就有利息计算，一块泥板问借出一谢克尔银，月利百分之二十，问多久本利翻番，答案三十五年多，复利的威力四千年前已经进了课堂。

具体的泥板能让这个抽象的画面活起来。芝加哥大学东方研究所藏有一块约公元前三千年的泥板，记录的是啤酒配给，画着碗和杯子，旁边戳着数字，可以想象一个工头领着一队劳工在神庙门口对账的情形。还有一块著名的乌尔第三王朝时期的田亩泥板，把田块画成不规则的多边形，分成三角形和梯形分块计算面积再求和，误差在百分之几的水平，几百年后埃及书记官用的也是同样的切块策略。最能体现精明的是利息泥板：汉谟拉比时代的法律把利率钉死在谷物贷款百分之二十、白银贷款百分之二十，泥板契约上写明本银、利率、期限，配套的学生练习题教你怎么算复利，怎么用倒数表反推利率。你看着这些练习题，会有一种强烈的既视感，利率、面积、盈亏平衡，今天财经院校的课程表，骨架和四千年前的书记学校几乎没变，变的只是工具从芦苇笔换成了电子表格。

时间也在这个时期被数学接管。农时是农业的命门，播早了霜冻，播晚了旱季，于是观星定季成了神庙的职业。巴比伦人把日月五星的运行记录了几个世纪，从中提炼出周期，公元前一千多年的泥板上已经有系统的天象日志。他们给黄道分了十二宫，把一年定为三百六十五又四分之一天的水平，能预报日食。历法是数学最早的统治级应用，它让祭司阶层垄断了与天对话的权力，也让数学第一次与权威结盟。这个结盟要一直延续到伽利略受审、到牛顿封爵，本书后面会多次回到这条线索：数学从不中立，它总是站在能用它的那一方。

值得停一停的是，农业账本里长出的不只是算术，还有标准的度量衡。一谢克尔、一米那、一古尔，这些单位之间有换算，换算就有比率，比率催生了乘法表和倒数表，巴比伦的学生泥板上到处是这两样，背九九表的痛苦起码有四千年历史。度量衡的统一是王权的功绩也是王权的工具，统一了单位才能统一税收。埃及第一王朝的纳尔迈调色板上，法老的形象旁边就刻着计数的人。数学从这里就沾上了权力的指纹，这一点我们不必回避，也无须夸大。

丈量土地的人

希腊人给几何学起的名字直译过来就是量地，这门学问在埃及的出身是清楚的。尼罗河每年泛滥，洪水退去，沃土重新露出，田界却没了，必须重新丈量划分，否则赋税就乱了。希罗多德在《历史》第二卷里写得很明白，他说埃及人把土地分配的技巧发展成了学问，后来传到希腊人手里。罗马人则保留了这个职业的名称，土地测量员在罗马是一份领薪水的工作，帝国地籍册的精确程度要到近代才被超越。埃及人还留下了工程精度的物证，大金字塔是绕不过去的一件。胡夫金字塔建于约公元前二五六零年，底边两百三十米，四边长度差的现代测量值在几厘米的量级，四条边朝向正东南西北的偏差不到百分之几度，这样的定向精度靠的是天文观测加绳尺的配合。金字塔的坡度设计用到了一种叫塞卡德的参数，即每肘尺高度对应的水平退距，莱茵德纸草书第五十六题到六十题算的就是金字塔的塞卡德，等于说纸草书里躺着一份坡度施工规范。顺便说一句纸草书的来历，它们能活到今天纯属侥幸，纸草在埃及的气候下也撑不过几百年，这两卷都是随葬品，主人大概是想让书记官在阴间也有活干。古代数学文献的存世率低到什么程度？我们关于整个埃及三千年的数学知识，主要靠几卷纸草和零散的碎片，这个样本量提醒我们，一切关于古代数学的叙述都要打上问号，包括本书这一章。

测量不是数学的应用，相反，测量是数学的母亲之一，因为测量提出了算术解决不了的第一个大问题：边长为四的三角形，斜边有多长？这一问下去，就是无理数，就是希腊人的全部悲剧与光荣，那是第二章的故事了。

埃及数学的第一手材料，主要靠两份纸草书撑着。莱茵德纸草书约抄写于公元前一六五零年，书记官阿摩斯自称抄自更早约两百年的底本，一八五八年被苏格兰人莱茵德在卢克索购得，现存大英博物馆；莫斯科纸草书稍早，藏于莫斯科。莱茵德纸草书开篇就号称包含一切秘密的入门，实际内容是一份算术手册，核心是著名的二分之一到二的分数分解表，把分母为奇数的单位分数之和写成查表格式。埃及人做分数只认单位分数，唯一的例外是三分之二，于是几乎所有的分数运算都要靠查表和硬算，路线之别扭让人心疼，但他们在自己的路线里达到了惊人的熟练。克莱因评价说埃及人的数学是纯粹经验性的，从来没有把方法提炼成原理，这个判断大体对，但我想补一句，能造出这样的表，本身就说明有一套隐性的方法论在运转。

埃及人的乘法也别有一番风味，值得专门看一眼。他们不背乘法口诀，做乘法靠倍增和分解：要算十三乘以十一，就把十三连番加倍得到一、二、四、八各倍，再挑出一、四、八这三份凑成十一，加总对应的三十五、十三加二十六得一百四十三。这个算法今天叫俄罗斯农民法或二进制乘法，本质上是把一个乘数写成二进制。除法更绝，埃及人把除法理解为乘以倒数，配合那张单位分数表查表完成。效率不算高，但鲁棒性极好，书写工具只有芦苇笔和墨水的条件下，这套方法稳稳跑了两千年。技术史上常有这种事，一套看似笨拙的系统因为足够标准化而长寿，埃及分数算法是一例，罗马数字又是一例，后者连乘法都做不利索，却因为刻在石碑上气派而活到了钟表盘和电影字幕里。

几何方面，莱茵德纸草书给出的面积公式良莠不齐。三角形面积取底乘高的一半，这是对的；圆面积取直径九分之八的平方，反推圆周率约为三点一六，误差不到百分之一，是古代近东最好的成绩；但四边形的面积取对边平均相乘，就只在长方形时成立。莫斯科纸草书里更有一道题直接给出了正四棱台的体积公式，正确无误，这是全卷最令人肃然起敬的一项，两河流域的泥板也给出过同类公式。这些成果背后站着什么方法，纸草不置一词。没有证明，没有推导，只有指令和答案，抄写员的职业训练像厨师带徒弟，照做即可。有一派人据此轻视埃及数学，我不这么看。指令式数学自有其尊严，它支撑了金字塔的坡度控制、神庙的定向、运河的开挖，误差控制到了厘米级。工程成就说明存在系统的近似方法和误差经验，只是这些方法论没有获得书面的理论形态。从会做到会说清楚自己为什么对，这一步留给了希腊人去完成，而这一步花了一千五百年。

巴比伦的普林顿三二二号泥板则展示了另一种气象。这块泥板约制于公元前一八零零年，一九二二年经古董商之手入藏哥伦比亚大学，上面四行十五列的数字，一九四五年被诺伊格鲍尔和萨克斯识破，是一批勾股数，也就是满足平方和关系的整数组，其规模和系统性远远超出了偶然碰到的水平。制作者几乎肯定掌握了一套生成公式，而毕达哥拉斯定理的普遍陈述要到一千年后才在希腊出现。另一块著名的 YBC 七二八九号泥板，画着对角线的正方形，对角线上给出了一点四一四二一二九的近似值，把二的平方根算准到小数点后六位。换句话说，无理数的近似值在巴比伦是工程常规操作，而希腊人后来看着同一个数陷入了形而上的恐慌。两个文明的性格反差，没有比这更锋利的样本了。

巴比伦泥板：六十进制的胜利

美索不达米亚的数学成就在很多方面压过埃及，原因至今聚讼。我倾向于地理决定论的解释加一点制度因素：两河流域无险可守，政权更迭频繁，商业契约比神庙仪式更吃数学；而埃及法老体制一统千年，书记官的知识像神职一样按门派保守传承，创新动力不足。不管成因为何，事实是，巴比伦人手里握着古代世界最强的算术机器。六十进制位值记数法是他们的绝活，同样两个楔形符号并排，前一个位置上算六十，后一个算一，配上他们后来发明的零占位符的雏形，这套系统在表达大数和做除法上碾压埃及的单位分数算术。今天的角度制、时间制都是它的遗产，前文已经说过，这里想强调的是位值制这个概念本身的分量。

位值制是一种彻底的抽象。符号的意义不再由符号自身决定，而由它所在的位置决定，这意味着书写系统开始表达关系而不只是表达物。人类文明普遍独立发明了文字，但位值记数法只在不多的地方出现：巴比伦、中国的算筹、印度、玛雅。中国的算筹记数至迟在公元前几世纪已经完备，纵式横式相间布筹，遇零空位，它与印度阿拉伯数字的位值思想是平行发明，明朝被珠算取代之前服务了中国数学一千多年，秦九韶、朱世杰的成就全在筹算框架内完成。玛雅人的位值制更进一步，他们有专门的零符号，像一只贝壳，而且早于旧大陆近千年。零的发明为什么这样难？因为零要同时扮演两个矛盾的角色，既是空位的记号，又是可以参与运算的数。把无当作一种有，这个思想飞跃主要归功于印度人，那是第三章的重头戏。

回到巴比伦。他们的代数能力尤其惊人，泥板上有一类题明确等价于二次方程，求解步骤就是配方，用几何式的剖分拼补来叙述，步骤程式化到近乎算法。老巴比伦时期的泥板 BM 一三九零一号上有一串题，给出了如今叫复利的问题：银按利率翻番，问多少年翻到六十四倍，答案六年，出题人心安理得地用二的幂次作答。更高级的是天文学后期的泥板，塞琉古时期巴比伦的抄写员用算术等差数列表描述太阳、月亮的变速运动，其精度和思路之现代让二十世纪的破译者怀疑自己眼花，那批方法学界称作巴比伦月球理论，是数学天文学最早的成熟作品。有人统计过，已出土的数十万块泥板中明确属于数学和天文类的约占千分之几，总量仍以万计，而真正被系统研究过的只是一部分，换言之，我们对巴比伦数学的了解还在不断加页，诺伊格鲍尔那一代人写下的结论，每隔几十年就要修订一轮。还有一类倒数表、平方表、立方表，配合线性插值，已经是一套计算工具箱的模样。二十世纪中叶，诺伊格鲍尔、图罗-汤普森等人破译泥板的工作，彻底改写了数学史叙事，在那之前，谁也想不到微分思想的雏形、天体运动的数据拟合这些高级操作，公元前就已经在乌卢克和巴比伦的泥板上排练过了。数学史作为一门严格学科，本身就是在这些破译中诞生的，这一点我们留到第八章再展开。

但我也要替埃及说句公道话，免得巴比伦独美。埃及数学通过贸易和征服对希腊的影响有直接的文献证据，泰勒斯游历埃及、毕达哥拉斯在埃及滞留的传说都指向同一个方向，而希腊几何这个量地的词根就是埃及人的尺。两大源头，一个贡献了几何的胚胎和分数的算术，一个贡