锦囊打开啦

第 1 章：锦囊打开啦

阁楼的木楼梯一踩就"咯吱"响，阿诺扶着落满灰的扶手往上爬。奶奶喊他在楼下吃饭，他装作没听见。阁楼是爷爷的秘密基地，木箱子里装着旧报纸、铁皮玩具、一只缺了耳朵的瓷兔子。角落里还有一只发黄的竹筒，盖子用红绳系着，蒙了厚厚一层灰。

阿诺用袖子蹭了蹭盖子，红绳居然没断，反而有点勒手。他把竹筒翻过来，筒底裂了一条缝，里面掉出来一卷发黄的纸。纸卷得很紧，展开的时候"啪"一声弹开，差点打到他的鼻子。阿诺趴到天窗下面，借着光看那卷纸。

纸面上的字是竖着写的，从右往左读。墨色深浅不一，有些地方被人用红笔圈过，旁边还写着一行更小的批注。最顶上四个字写得特别工整——九章算术。阿诺不认识"算"字旁边那个古体的"術"，但他认得"九章"两个字。

"爷爷，你藏的是什么宝贝呀？"阿诺抱着竹筒冲下楼，差点撞翻奶奶端着的红烧肉盘子。

爷爷放下老花镜，接过竹筒。他没有立刻回答，而是把纸卷展平在桌上，纸边沿已经起毛，但字迹还能看清。爷爷指着最上面那四个字说："这是一本书，比爷爷的爷爷的爷爷还要老。"

"它是讲什么的呀？"

"讲算数的。"

"算数有什么好讲的，加减乘除我都会了。"

爷爷笑了，皱纹里藏着一点得意："等你看完这本书，就会知道自己那点本事，连门都没摸着。"

那天晚上，阿诺没有看动画片。他趴在书桌上，把那卷发黄的纸从头到尾读了三遍。读完之后，他在作业本的扉页上写下一行字：这本书已经两千岁了，但它说的话，今天的老师还在教。 这是他读这本书的第一个感觉。后来，他把这个感觉讲给同桌听，同桌说他在吹牛。同桌的意思是，那么老的书，怎么可能还在教？可是阿诺指着数学课本上的"方程""比例""面积"几个词，每个都能在《九章算术》里找到原型。

《九章算术》到底是什么

《九章算术》不是一个人的作品，它是一本"集体创作"的数学题集。你可以把它想象成一本很厚的"习题册"，里面收了二百四十六道应用题，每一道都配着详细的解法。这本书大约在东汉时期（一世纪前后）成书，正是纸张刚刚普及、竹简慢慢退场的年代。

这个名字听起来很怪，"九章"为什么是九章？古人数数，喜欢用"九"这个字，九在汉语里代表"很多""很全"。把书分成九大类，是为了让不同行业的人都能找到自己要用的问题。农民翻到"方田"，可以学怎么算田地的面积；商人翻到"粟米"，可以学怎么按比例换算粮食；造房子的工匠翻到"商功"，可以学怎么算土方和体积。所以"九章"不是九段文章，是九个不同的生活场景。

书里的题目，大多从一个具体的场景出发。比如第一道"方田"题，可能讲的就是一块长方形的地，一边三十步，另一边十二步，问面积有多少。这种题目，今天的数学课本还在用，只不过把"步"换成了"米"，把"亩"换成了"平方米"。古人和今天的孩子，算的是同一片地。

阿诺第一次读完这本书，最大的疑问是：这样一本没有插图、没有彩色印刷、字还密密麻麻的书，凭什么活了两千多年？答案藏在三个事实里。第一，它讲的是人每天都要用的事。买卖粮食、修房子、收税分摊，哪一样不需要算？第二，它把复杂的问题拆成一步一步的小问题，每一步都写得很清楚，等于在手把手教。第三，后来有几位伟大的数学家，给它做了详细的注释，让后来的人能看懂。两千年来，学数学的人都要翻一翻这本书，就像学语文的人会翻《论语》。

九个章节，九个世界

阿诺对着目录数了数，《九章算术》的九个章节分别是：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。每个名字听起来都怪，但每个名字背后都连着一类真实的问题。

方田讲的是面积。"方"是方形，"田"是田地，合起来就是"算地的形状"。这一章里有矩形、三角形、梯形、圆的面积公式，还有分数的四则运算。阿诺读到"今有田广十二步，从田十四步，问为田几何"的时候乐了，因为这道题他刚在三年级课本里做过。古代的"步"，大约等于今天的一米多一点，所以这道题换成今天的说法就是：长方形地，长十四米，宽十二米，面积是多少？答案一样，算法也一样，只是单位换了名字。

粟米讲的是比例。"粟"是小米，"米"在这里也是粮食的意思。这一章教人怎么按比例换算粮食。比方说，买一石粟米要十八钱，问买三石要多少钱。古人用"今有"两个字开头出题，几乎每一道题都是一句真实的小故事。阿诺边读边想：原来"按比例算"这门手艺，汉朝人就已经玩得很溜了。

衰分讲的是按等级分配。"衰"在这里读"cuī"，意思是"按顺序递减"。这一章解决的是"分配不均"的问题。比如十个人分一百斗粮食，按功劳大小分成一比二比三比四这样递减，每个人应该分多少？这种问题今天叫"按比例分配"，课本里常出现在百分数那一章。

少广讲的是开方和体积。"少"是少，"广"是宽，连起来是"已知面积求边长"的意思。这一章里出现了"开平方"和"开立方"，相当于今天的求平方根和立方根。古人没有计算器，他们用一种"逐步逼近"的方法来求近似值，思路和今天数学课教的"牛顿法"非常接近。

商功讲的是工程计算。"商"是商量、计划，"功"是工作量。这一章全是和盖房子、修水渠、挖土方有关的几何体体积问题。圆锥、圆台、棱台、堤坝，全都有现成的公式。古人把这些公式摆在书里，让工匠不用每次重新推导。

均输讲的是公平运输。"均"是平均，"输"是运输。这一章解决的问题是：要把一批粮食从几个仓库运到几个目的地，怎么安排最省力、最省钱？这其实就是今天的"运筹学"和"线性规划"。阿诺看到这里，下巴差点掉下来：两千年前的人，就已经知道"运筹"这个概念了。

盈不足讲的是盈亏问题。这一章只有一小部分题目，但每道题都很有趣。题目通常这样出：几个人合伙买东西，每人出八钱多了三钱，每人出七钱又少了四钱，问人数和物价。这种问题在中国一直流传，今天的奥数课本里还能看到类似的影子。

方程讲的是线性方程组。"方"是方形，"程"是表达式，连起来是"把表达式排列成方形"。这一章里出现了一种独特的写法——把未知数列成竖排，旁边写系数。这其实就是矩阵的雏形。英国的科学史家李约瑟说过，这一章里的"方程"概念，比欧洲早了一千五百多年。阿诺读到这里的批注，眼睛瞪圆了——他刚刚在五年级课本上学的"方程"和"鸡兔同笼"，老祖宗早就研究过了。

勾股讲的是直角三角形。"勾"是短边，"股"是长边，"弦"是斜边，连起来就是"勾股定理"，中国叫"勾股术"，西方叫"毕达哥拉斯定理"。这一章给出了勾股定理的完整证明，比欧洲早了六百多年。阿诺后来在课外书上看到这段历史，激动得在课堂上差点举手回答老师的问题。

九个章节加起来，就是一本"古代数学百科全书"。它把当时中国能用到的所有数学问题，分门别类整理好，让种地的、做工的、做官的、做生意的人，都能从里面找到自己需要的算法。

那些留下名字的注释家

阿诺有一个疑问：书这么厚，谁是作者？翻遍全书，找不到一个署名。每道题的作者都写"佚名"，意思是"不知道是谁"。这和现代的书很不一样，现在的作者恨不得把名字印得比书名还大。

为什么没有作者？不是古人谦虚，是因为这本书本来就是"集体创作"。从春秋战国到东汉，几百年里无数的数学老师、官员、工匠，把自己的题解交给朝廷或学馆，一代一代积累下来，最后由某人整理成书。这个整理者也不一定愿意留名，因为他觉得，这些题目本来就是大家的智慧，留名反而显得小气。

可是没有作者的书，怎么流传下来？这就要靠后世的注释家了。中国古代有一类特别的学者，他们一辈子只做一件事——给古书做注释。这些注释比原文还长，注释者的贡献甚至可能超过原作者。《九章算术》有两批最重要的注释者，一位是魏晋时期的刘徽，另一位是唐代的李淳风。

刘徽的注释写在公元263年左右。他给每一道题都写了"注"，解释这一步为什么要这样算。他还写了《九章算术注》的总序，叫《九章算术序》，开头第一句话就是"昔在包牺氏始画八卦"，把数学的历史一路追溯到传说时代。刘徽最精彩的贡献是给"勾股"那一章写了专门的证明，用"出入相补"的方法，把勾股定理的几何图形拼来拼去，严严实实地证明了出来。这套方法欧洲直到十七世纪才有人想出来，整整晚了一千四百年。

阿诺读到刘徽的证明时，第一次知道"证明"这个词可以这么用。他在草稿纸上照着刘徽的图重新画了一遍，画完之后觉得勾股定理再也不是什么神秘的公式，而是一块可以拼来拼去的积木。

李淳风的注释写在公元656年左右，那时候是唐朝，李淳风是朝廷任命的数学专家。他奉皇帝的命令，重新整理《九章算术》，并把祖冲之发现的一位古代数学家"刘徽"之后的人的研究也加进去。李淳风的注释比刘徽的更讲究术语，他把每一道题的解法提炼成"术"，方便后人查阅。

阿诺在学校的图书馆里找到一本影印本，封面是深蓝色的，左上角印着"算经十书"四个字。他才知道，唐代朝廷曾经把《九章算术》和另外九本数学书一起定为"官方教材"，考试要考。后来这十本书被合称为"算经十书"，是古代数学家必读的书单。

中国古书的传统就这样：原作者往往佚名，注释者往往赫赫有名。这和西方"作者签名才算数"的传统很不一样。阿诺觉得这种传统有个好处：大家关注的是这本书里的智慧，而不是哪一个人；坏处是写书的人得不到应有的名分。但站在读书人的角度，能读到两千年前的人想出来的算法，已经够让人兴奋了。

竹棍子也能算数

阿诺的爷爷给他演示了一件特别有意思的事：古人算"三百二十七加四百五十六"，不用纸笔，用一把小棍子。这种小棍子叫"算筹"，用竹子或木头削成，每根大约一寸长，六毫米见方。算筹分两套，一套摆在上方代表"百千万"，一套摆在下方代表"个十百"。位置不同，数字不同。

爷爷从柜子里翻出一盒牙签，是给阿诺剔牙用的那种，阿诺嫌脏，爷爷又换了新的一盒。一盒牙签差不多五十根，爷爷抽出一半，把它们一根一根在桌上摆成竖排。第一排摆三根，代表三百；第二排排空，地方空着就代表零；第三排排两根，代表二十；第四排排七根，代表七。合起来就是"三百二十七"。古人念的时候是从上往下念，从左往右摆。

接下来加"四百五十六"。先把四百摆在第一排的下方，五摆在第二排下方，六摆在第三排下方。要注意，当两根牙签上下撞在一起的时候，要换成一根横向的"五"。这是算筹最重要的规则——逢五进一，加到十就要进位。古人用小棍子，把进制这件事变成了一种"手脚并用"的舞蹈。

加完之后，桌上看上去乱糟糟的牙签，居然就是正确答案"七百八十三"。阿诺盯着牙签看了五分钟，觉得古人真聪明，没有电子计算器的时候，他们就把"进制"这件事玩得那么溜。

爷爷还让他做了几道练习。第一道是"一百五十六加二百四十七"，答案是"四百零三"。阿诺第一次算错了，因为他忘了把两根表示"五"的牙签换成一根横向的。第二道他算对了，第三道也对了。算完三道题，他觉得自己的手指比脑子更灵光。

牙签是阿诺用来模拟算筹的现成工具。算筹已经失传了一千多年，今天没人用小棍子算大数。但算筹留下的影响还在——算筹的"位值制"是中国古代数学最重要的底层设计，没有位值制，今天所有的二进制、十进制数学都不会有。

两千年的时光轴

阿诺后来在图书馆借到一本厚厚的《九章算术》校释本，是当代数学史家白尚恕先生写的。书的开头画了一张时间轴，把《九章算术》的"一生"画了出来。阿诺回到家，凭记忆把那张时间轴默写在自己的作业本上。

公元前2世纪到公元1世纪，《九章算术》在各地流传，不断被增补修改。公元1世纪左右，最终整理成书——这是《九章算术》的"出生时间"。公元263年，魏晋时期的刘徽为它作注，让这本书第一次有了"详注本"，相当于给古书配了一本"教学参考书"。公元656年，唐代李淳风整理注释，并把它列入"算经十书"，从此《九章算术》成为"国家认证"的数学课本。1084年，南宋时期出现了印刷本，是中国现存最早的印刷版数学书。1781年，清代宫廷编印《四库全书》，把《九章算术》收入其中，让它继续存在于皇家图书馆。20世纪以后，钱宝琮、严敦杰、白尚恕等数学史家对它重新校释，现代的孩子们才有机会读到白话翻译本。

这张时间轴让阿诺明白了一件事：《九章算术》不是"一本古老的书"，而是一条从古代一直流到今天的河。河水有时涨有时落，但从来没有断过。

爷爷后来告诉阿诺，他小时候学珠算，背的口诀"一上一、二上二、三下五去二"，最早的源头就是《九章算术》。再往上推，珠算的源头是算筹，算筹的源头是新石器时代的结绳记事，再往上推就是河图洛书的传说。阿诺听得入了迷，觉得数学这条河真的可以一直往上追，追到远古的河滩。

那张作业本上的扉页

阿诺读完《九章算术》的当天晚上，在作业本的扉页上写了几行字："《九章算术》是东汉成书的数学题集。一共九章：方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。它没有署名作者，但是刘徽、李淳风给它做了精彩的注释。古人用算筹（小棍子）来算。今天的数学课本里，还能找到《九章算术》的影子。"

这是阿诺第一次为一个作业本扉页花了十分钟。写完之后他觉得，扉页写得像一份小报告，条理很清楚。爷爷看了之后说："再短一点，要能讲给奶奶听。"阿诺想了想，把几行字压成了一句话：《九章算术》是两千年前中国的一本数学'习题册'，九个章节把种田、做工、做官、做生意都要用的算法都囊括了，刘徽给它注释过，今天学校教的许多数学题，都能在这本书里找到原型。

第二天早上，阿诺把这句"一句话介绍"讲给奶奶听，奶奶听完没什么反应，只说："那你数学能考一百分了？"阿诺笑了笑，没有回答。他知道，一百分不重要，重要的是他开始明白，自己每天做的那些加减乘除，并不是凭空从天上掉下来的，而是两千年来无数数学家一笔一笔写下来的。《九章算术》是这些数学家当中最厚的那一笔。

再后来，阿诺跟爷爷说，他想顺着《九章算术》的九章一个一个玩下去。爷爷点点头："光说不练假把式，咱们去量一块田，看看你能算对不。"

阿诺立刻问："量哪块田？"

爷爷用下巴指了指院子后面那块菜地："就那块。我年年种黄瓜，长十四步，宽十二步。你先给我算出面积，再算算能种多少棵黄瓜苗。"

本章小结

这一章打开了《九章算术》的"锦囊"，讲了三个关键的事。第一，《九章算术》是东汉成书的数学题集，分九章二百四十六道题，每道题都是一个真实生活场景下的数学问题。第二，原书没有署名作者，但是魏晋刘徽、唐代李淳风等人为它做了精彩注释，让这本书从"习题册"变成了可以反复研究的"数学宝库"。第三，古人用"算筹"这种小棍子来计算，算筹背后的"位值制"是中国古代数学最重要的发明之一。两千年来，《九章算术》从汉代的手抄本，一直流传到今天的数学课堂，它不是一本古老而死的书，而是一本一直活着、一直被后人翻阅的书。

爷爷指着院子后面那块菜地说："明天带上尺子，咱们去量一量黄瓜地，把《九章算术》第一件事——量田地，亲手做一遍。"阿诺点头，作业本扉页上那句话的最后一个字还没干透，墨水在纸上慢慢浸开一圈。

下一章，就去菜地。

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