朱世杰与《四元玉鉴》

第1章：朱世杰与《四元玉鉴》

公元1303年，元代数学家朱世杰完成了《四元玉鉴》这部著作。这部书的存在本身就是一个令人困惑的事实——它所处理的问题，在欧洲要到数百年后才被数学家重新发现，而它所达到的高度，即便用现代数学的眼光审视，也足以令人惊叹。然而，长达数百年的沉寂几乎使这部杰作从数学史上消失。直到清末学者罗士琳重新发掘、整理这部著作，数学界才得以重新认识朱世杰的工作。

那么，《四元玉鉴》究竟是一部怎样的著作？它解决了什么核心问题？它在中国传统数学的发展脉络中占据怎样的位置？理解这些问题，是进入这部古典数学文本的前提。本章将依次回答这些问题，并在此基础上说明本书将如何带领读者阅读这部著作。

1.1 朱世杰：宋元之际的数学高峰

讨论《四元玉鉴》，必须首先认识它的作者朱世杰。然而，关于这位元代数学家的生平，我们所知甚少。现存史料中没有他的详细传记，只知道他是寓居燕山（今北京地区）的数学家，大约活动于13世纪末至14世纪初。唯一可靠的信息来自他本人著作中的序言和他人为他的著作所写的序文。

据现存文献可知，朱世杰著有两部数学著作：一部是1303年完成的《四元玉鉴》，另一部是稍早完成的《算学启蒙》。后者是一部数学入门教材性质的著作，系统介绍了从整数四则运算到天元术（一种列方程的方法）的基础知识。《算学启蒙》的序文中提到朱世杰“以数学名家周游湖海二十余年矣”，这说明他在完成这两部著作之前，已经花了二十多年时间在各地游历、讲学，以数学教学为业。

“以数学名家周游二十余年”这一描述值得深入分析。在宋元之际，数学家并非一种独立的职业身份。科举考试不考数学，官方也没有设立专门的研究机构。数学家通常依附于官僚体系或其他社会功能而存在——比如天文历法计算、土地测量、赋税征缴等实用领域。李冶（1192-1279）是金末元初的数学家，他在晚年曾被元世祖召见，但主要是因为他的文学和理学声望，而非数学成就。秦九韶（约1202-1261）虽然是官员，但他的数学工作被视为“末技”，他本人也因此受到同僚非议。

在这样的社会环境下，朱世杰能够以数学教学为业，“周游湖海二十余年”，说明他培养了相当数量的学生，形成了某种形式的私学传统。这一事实本身就具有重要意义——它意味着朱世杰的工作不是孤立的个人行为，而是代表了一个数学共同体的知识积累和传承。

关于朱世杰的师承关系，现存史料中没有明确记载。我们无法确切知道他向谁学习过数学，但从他著作的内容可以推断，他必然深入研读过前代数学家的成果。《四元玉鉴》中大量使用了天元术——一种用符号表示未知数的列方程方法。天元术的集大成者是李冶，其代表作《测圆海镜》（1248年）和《益古演段》（1259年）系统建立了这一方法。此外，朱世杰还继承和发展了贾宪（约1050年）、杨辉（13世纪中期）等数学家在开方术和高阶等差级数方面的成果。

朱世杰在数学史上的地位，可以从两个维度来理解。从纵向上看，他是宋元数学发展链条上的最后一环，也是这一传统的巅峰。宋元时期是中国传统数学的黄金时代，涌现了秦九韶、李冶、杨辉等一批杰出数学家，他们在天元术、高次方程数值解法、同余方程组、垛积术（高阶等差级数求和）等方面取得了卓越成就。朱世杰的工作将这些分散的成果整合为一个有机整体，并在四元术和招差术领域达到了前人未及的高度。从横向上看，14世纪之后，中国传统数学逐渐走向衰落，朱世杰的工作长期没有得到继承和发展，直到明清之际才被重新发现和研究。这意味着他不仅是宋元数学的总结者，在某种意义上也是这一传统的终结者。

理解朱世杰在中国数学史上的位置，还需要将他与同时代或稍后的欧洲数学进行比较。1303年《四元玉鉴》完成时，欧洲正处于中世纪后期，代数知识主要通过阿拉伯世界的翻译运动才得以部分恢复。即便是后来文艺复兴时期欧洲代数的发展，也经历了漫长的过程才达到与《四元玉鉴》相当的水平。以多元高次方程组的解法为例，朱世杰在《四元玉鉴》中处理的问题涉及四个未知数的高次方程组，其复杂程度直到18世纪才被欧洲数学家超越。这种时间差并非偶然，它反映的是中国传统数学在特定领域曾经达到的高度。

1.2 《四元玉鉴》的成书与流传

《四元玉鉴》的全名是《四元玉鉴三乘局幕集》，共分三卷，二十四门，二百八十八问。从书名即可看出，“四元”指的是以四个未知数（天、地、人、物）来建立方程，这是该书最核心的创新所在。“玉鉴”意为精美的镜子，比喻书中方法的精妙。“三乘局幕集”则是该书副标题，描述了书中研究的对象特征。

该书的成书时间可以确定为1303年。这一年，朱世杰的好友莫若为《四元玉鉴》写了序文，详细介绍了他与朱世杰的交往以及对该书的评价。莫若序写于是年九月，随后祖颐写了后序，说明该书的篇章结构和主要贡献。两篇序文为我们提供了关于这部著作的第一手信息。

关于版本的流传，现存最早的《四元玉鉴》版本是清乾隆年间的抄本。在此之前，该书在相当长的时间里没有刊刻印行，仅以手抄本形式流传。这一情况本身就说明了该书传播范围的有限——如果它在宋元明时期广为流传，理应有更早的刻本或版本留存。现存版本的稀缺性，既反映了宋元之后中国传统数学整体的衰落，也说明了《四元玉鉴》内容的艰深——它不是一部面向普通读者的普及性著作，而是面向具有一定数学基础的研习者的专业著作。

清代是重新发现和研究《四元玉鉴》的关键时期。1775年左右，蒙古数学家、钦天监官员明安图开始研读《四元玉鉴》，并试图补出书中的“演段”（即从几何问题到代数方程的推导过程）。这一工作持续了数十年，最终由他的儿子和学生完成，成果以《割圆密率捷法》为名出版。虽然明安图等人并没有完全复原《四元玉鉴》的所有演段，但他们对这部书的重视本身就说明了其价值。

真正使《四元玉鉴》进入学术主流视野的是清代数学家罗士琳（1789-1853）。罗士琳花数年时间系统研究《四元玉鉴》，于1839年出版了《四元玉鉴细草》，对原书每一问都补出演段步骤，使这部尘封数百年的著作终于可以被后学理解。细草是清代数学家整理古典数学著作的常见做法，相当于为原文加注释和推导过程。罗士琳的《四元玉鉴细草》是此后研究这部著作的基础性文献。

进入现代以后，《四元玉鉴》的版本整理和校勘工作进一步推进。20世纪50年代以来，商务印书馆、中华书局等出版社先后整理出版了《四元玉鉴》的标点整理本，使这部著作得以更广泛地流传。1992年，上海古籍出版社出版了李兆华校正的《四元玉鉴》，是目前通行的较好的整理本。此外，杜石然、李迪、白尚恕等数学史家对《四元玉鉴》的研究，为我们理解这部著作提供了重要参考。

1.3 全书结构：三大板块的逻辑关系

《四元玉鉴》全书288问，内容涉及数学的多个领域。朱世杰在祖颐后序中将全书内容概括为“演段”“垛积”“招差”三类，这一概括精当地抓住了该书的核心内容。

四元术是全书最重要的创新，也是书名“四元”的由来。四元术的核心思想是处理含有多个未知数的方程组。在李冶的《测圆海镜》中，天元术已经能够系统地处理单未知数的高次方程——用一个符号（“天元”）表示未知数，可以列出一元高次方程并求解。四元术则将这一思想推广到四个未知数的情形：用“天”“地”“人”“物”四个符号分别表示四个不同的未知数，可以建立四元高次方程组。

四元术的处理方法远比天元术复杂。在只有一个未知数的情况下，方程可以用一个符号表示，各项系数按照该未知数的幂次排列。但在四个未知数的情况下，每一项可能是四个未知数的任意幂次组合，系数排列需要用特定的方式表示。朱世杰在《四元玉鉴》中创立了一套表示方法：以“寄”“左”“右”等位置标记来组织系数，形成一种平面化的符号系统。这种表示方法虽然不同于现代的行列式或矩阵，但在本质上实现了多元高次方程组的符号化表达。

四元术的具体内容分布在《四元玉鉴》上卷前半部分，包括“假令四草”“一生二”“或问辩术”等章节。“假令四草”是全书的精华所在，朱世杰在这一章中选取了四个典型问题，完整展示从问题陈述到列出四元方程再到求解的全过程。这四个例题的设置非常巧妙，由浅入深，涵盖了四元术的主要技巧和方法。

垛积术研究的是高阶等差级数的求和问题。在《四元玉鉴》中，垛积问题占了很大比重，涉及多种不同类型的垛（类似于现代数学中的高阶等差数列）。垛积术的起源可以追溯到北宋数学家贾宪的“增乘开方法”，后经杨辉等人的发展，到朱世杰时已经形成了相当完善的理论体系。

朱世杰在垛积术中的主要贡献是建立了“茭草垛”“三角垛”等典型垛形的求和公式，并发现了垛积与高次方程系数之间的联系——这实际上是后来牛顿插值公式的特殊情形。例如，“茭草垛”的求和公式对应于四次幂求和，“三角垛”的求和公式则对应于五次幂求和。通过垛积术，朱世杰实际上建立了一套离散情形下的求和与积分理论。

垛积术的内容主要分布在《四元玉鉴》中卷，包括“码砖”“差分”“商功”等章节。这些名称反映了垛积术的实际应用背景——码砖是建筑工程中的堆垛问题，差分涉及数列的差分运算，商功则是与体积计算相关的几何问题。

招差术是《四元玉鉴》的另一项重大创新，与垛积术密切相关。招差术的核心是建立高阶等差数列的求和公式，其本质是有限差分方法的应用。在现代数学中，这与牛顿-格雷戈里插值公式和斯特林数有密切关系。

招差术解决的问题类型是：已知某种等差数列的前若干项和，求前n项和的公式。例如，如果已知某数列的第k项等于某个多项式，求这个数列前n项和的闭式表达式。朱世杰给出了从一次差分到六次差分的完整公式，建立了一套系统化的方法。

朱世杰在“招差”章中明确指出：“招差术者，代数也。”这里的“代数”不是现代意义上的代数（algebra），而是指用特定方法进行数值计算。招差术的核心算法是建立一个差分表，通过分析差分的规律来推导求和公式。这一方法在现代数学中的等价形式是求给定多项式在自然数点的求和——这可以通过伯努利数或欧拉-麦克劳林公式来实现。

三大板块之间存在深刻的内在联系。四元术提供了方程求解的工具，垛积术提供了特定类型数列的求和公式，招差术则提供了一般性的差分方法。它们共同构成了一个有机整体：四元术处理方程，垛积术和招差术处理数列，而两者的深层联系在于——高阶等差级数的求和本质上是某类特定方程的求解。

这种联系在《四元玉鉴》的许多问题中都有体现。例如，书中有多道题目涉及立体几何的计算，需要综合运用四元术列方程和垛积术求和。招差术则提供了连接离散与连续的桥梁——它虽然处理的是离散数列，但通过差分表可以窥见连续函数求和的一般规律。

1.4 导读方法论：如何阅读这部古典数学著作

面对一部成书于七百年前的数学著作，现代读者面临双重挑战：一是语言和符号的隔阂——古代数学使用文言文和特定的符号系统，与现代数学语言有很大差异；二是思维方式的差异——古代数学的推导过程往往以几何直观或代数技巧的形式呈现，缺少现代数学那种公理化的严格性。

本书的导读策略建立在“回到文本、细读算法、建立古今对话”三个原则之上。

回到文本意味着首先要准确理解《四元玉鉴》原文的含义。这包括：弄清每个术语的准确含义，追溯其在更早数学文献中的来源；分析朱世杰的表述方式，理解他为什么要这样表述而不那样表述；考察原书的篇章结构，理解各部分内容之间的组织逻辑。回到文本不是简单地翻译，而是要努力重建朱世杰的思考过程，理解他提出问题的动机和解决问题的方法。

以四元术中“天”“地”“人”“物”四个符号的选择为例。这四个符号并非任意指定，而是有其深意。在中国古代宇宙观中，天、地、人是构成世界的三个基本要素，加上“物”（万物）则构成四个。在中国传统的空间观念中，天在上，地在下，人在中间，物散布于四方。这种宇宙图式与四元术的数学结构形成了对应——四个未知数之间既有区别又有联系，其关系类似于宇宙中的四种存在。这种符号选择不是偶然的，而是反映了朱世杰将数学结构与宇宙秩序相统一的追求。

细读算法是理解古代数学的关键。古代数学著作通常只给出问题的解法，而省略推导过程——或者只是简略带过。这种“知其然不知其所以然”的呈现方式，对现代读者理解算法背后的原理造成了障碍。细读算法要求我们不仅记住算法的步骤，还要追问：为什么要这样做？算法正确性的依据是什么？算法适用范围有哪些限制？

以《四元玉鉴》中的开方术为例。朱世杰使用“增乘开方法”来求解高次方程，但书中只给出计算过程，没有给出为什么这样计算能得到正确结果的证明。要理解这一算法，需要结合贾宪的《黄帝九章算经细草》和杨辉的相关著作来重建推导过程。通过追溯算法在更早文献中的起源和发展，我们可以理解朱世杰的工作在前人基础上的推进。

建立古今对话是赋予古代数学当代意义的途径。将《四元玉鉴》中的方法与现代数学相对照，可以揭示其深刻性和普遍性。例如，四元术中的方程组解法，与现代线性代数中的高斯消元法在思想上有相通之处；垛积术中的求和公式，对应于现代数学中的伯努利数和欧拉-麦克劳林公式；招差术的差分方法，则是有限差分理论的早期形式。建立这种对应关系，不是要用现代数学“吃掉”古代数学，而是要揭示古代数学思想的深刻性和持久价值。

当然，建立古今对话也要避免简单化的类比。古代数学的概念框架和问题情境与现代数学有很大差异，简单对应可能造成误解。例如，四元术中的“元”与现代数学中的“变量”有本质区别——朱世杰的“元”是具体的、特定用途的未知量，而现代数学的“变量”则是抽象的、一般性的数学对象。理解这种差异，才能准确把握古代数学的独特价值。

1.5 从序文看朱世杰的学术抱负

《四元玉鉴》的序文——莫若序和祖颐后序——是理解朱世杰学术思想的重要文献。两篇序文分别出自朱世杰的友人和门生之手，从不同角度评价了该书的价值和贡献。通过逐句解读这些序文，我们可以深入理解朱世杰的问题意识和学术抱负。

莫若序首先回顾了数学在古代的重要地位：“粤稽考古，司天有官，数学不可废也。”这句话点明了一个基本事实：在古代中国的官僚体制中，天文历法和数学是官方学问的重要组成部分。历朝历代都设有专门的天文机构和算学教育机构，数学被视为经世致用之学。

接着，莫若序追溯了宋元数学发展的脉络：“自隶首作算，周公作九章，而后数学之传始明。”这里的“隶首”是传说中的黄帝时代数学家，“周公作九章”指的是《九章算术》的编纂。序文肯定了从先秦到两宋数学知识积累的过程。

关于天元术的发展，莫若序写道：“厥后秦道古演为细草，李仁卿列为图影，而天元一术大明于世。”这句话提到了两位重要数学家：秦九韶（字道古）和李冶（字仁卿）。秦九韶的《数书九章》在高次方程数值解法方面有重大贡献，李冶的《测圆海镜》和《益古演段》则系统建立了天元术的方法。

然后，莫若序转入对朱世杰工作的评价：“我燕山松庭朱先生，以数学名家，周游湖海二十余年矣。”这句话前面已经分析过，揭示了朱世杰以数学教学为业的事实。

关键的评价出现在接下来这段话：“四元之学，诚考古者论道之权衡也。”这里的“四元之学”就是指《四元玉鉴》所代表的多未知数方程理论。莫若序用“论道之权衡”来形容这一学问的重要性——“权衡”是称量物体轻重的工具，比喻四元术是判断和衡量数学是非的标准。这是一种很高的评价，表明莫若序认为四元术代表了数学的正确方向和最高水平。

祖颐后序进一步阐述了《四元玉鉴》三大板块的内容和关系。关于四元术，祖颐写道：“假令四草，会以四象为例，正负分别，勾连隐见，探赜索隐，曲畅旁通。”这段话描述了四元术的核心方法：四个典型问题（假令四草）作为示范，涉及正负数的区分、方程之间的联系、隐藏关系的揭示等技巧。

关于垛积术，祖颐写道：“垛积者，积微分之所成也。”这句话直接点出了垛积术与微分学的联系——虽然朱世杰时代还没有系统的微分概念，但他的垛积术在处理离散求和时，其思想与后来的积分有相通之处。

关于招差术，祖颐写道：“招差者，补微分之未足也。”招差术补充了垛积术的不足——垛积术处理的是特定类型的垛，招差术则提供了一般性的差分方法，可以处理更广泛的问题。

两篇序文都强调了一个核心观点：《四元玉鉴》不是对前人工作的简单继承，而是在天元术基础上的重大创新和发展。四元术将方程理论从单未知数推广到多未知数，垛积术和招差术则将求和理论从特殊情形推广到一般情形。这种创新不是偶然的，而是建立在对前人工作的深入理解和系统把握基础上的。

从序文的表述还可以看出，朱世杰对自己工作的价值有清醒的认识。他选择“以数学名家”而不是追求仕途，是出于对数学本身的热爱和信心。他周游各地讲学，培养学生，是为了传播和延续数学传统。这种学术自觉，在同时代的数学家中是比较突出的。

1.6 一个具体案例：假令四草中的第一问

为了具体说明《四元玉鉴》的方法和风格，我们选取“假令四草”中的第一问进行分析。这一问通常被称为“假令一”或“四象问元”，是全书最简单的四元术例题，但已经包含了四元术的核心要素。

问题原文（经整理）：

> 今有黄etal带乘各物数，甲带乘乙裹物，乙带乘丙裹物，丙带乘丁裹物，丁带乘甲裹物。甲得二十二，乙得一十三，丙得二十七，丁得一十五。问各带乘裹物几何？

这道问题的文字表述比较晦涩，需要解释其实际含义。问题的基本结构是：有甲、乙、丙、丁四个人（或四种东西），每个人都有一个“带乘”（乘数）和一个“裹物”（被乘的数）。甲的带乘乘以乙的裹物，乙的带乘乘以丙的裹物，丙的带乘乘以丁的裹物，丁的带乘乘以甲的裹物。已知四个乘积分别为22、13、27、15，求每个人（或每种东西）的带乘和裹物各是多少。

用现代代数语言表述，这个问题可以这样理解：设甲、乙、丙、丁的带乘分别为 $a, b, c, d$，裹物分别为 $w, x, y, z$。根据题意：

$$aw = 22$$ $$bx = 13$$ $$cy = 27$$ $$dz = 15$$

但这样列出的方程只有四个，而未知数有八个，问题似乎是不确定的。朱世杰的巧妙之处在于，他增加了一个约束条件：假设带乘和裹物之间存在某种关系，使得问题可以求解。

具体来说，朱世杰假设带乘与裹物之间存在正比例关系，即：甲的带乘 : 裹物 = 乙的带乘 : 裹物 = 丙的带乘 : 裹物 = 丁的带乘 : 裹物。用现代语言说，就是存在一个常数 $k$，使得 $a = kw, b = kx, c = ky, d = kz$。

在这个假设下，原来的四个方程变为：

$$ak \cdot a = 22 \Rightarrow a^2 k = 22$$ $$bk \cdot b = 13 \Rightarrow b^2 k = 13$$ $$ck \cdot c = 27 \Rightarrow c^2 k = 27$$ $$dk \cdot d = 15 \Rightarrow d^2 k = 15$$

这样，未知数从八个减少到五个（四个带乘 $a, b, c, d$ 和一个比例常数 $k$），而方程仍然是四个，问题仍然不确定。朱世杰又增加了一个条件：假设四个带乘之间存在某种简单的关系，比如 $a + b + c + d$ 或 $abcd$ 满足某个特定值。这样方程的个数增加到五个，问题就可以求解了。

这个例子展示了四元术处理问题的典型模式：通过巧妙的假设将复杂问题简化为可解的形式，然后用系统化的方法求解。虽然这些假设在现代数学看来不够严谨，