元朝少年梦
七百多年前的中国大地上，数学到底是什么样子？这个问题听起来像是历史课本里才会出现的大问号，但它其实藏在一个真实的人身上——元朝的朱世杰，一位把毕生精力都用来写一本奇怪的书《四元玉鉴》的数学家。
小砚第一次离朱世杰这么近，是在自然博物馆的二楼展厅。
阳光从玻璃穹顶斜斜地照下来，把展柜里那一排小竹棍照得发亮。那些小竹棍叫算筹，细得像牙签，整整齐齐地躺在红色绒布上。小砚盯着它们看了好久，心里一直在想：这么小的东西，真的能算数学题吗？
妈妈在三楼矿石区打电话催他，他假装没听见，干脆靠进展柜的玻璃橱窗，闭上眼睛打了一个小小的盹儿。
梦里好像有人轻轻敲了一下展柜的玻璃。
声音不大不小，刚好让他猛地睁开眼睛。
天花板不见了。玻璃不见了。自然博物馆里那些矿石、恐龙骨架、北极熊标本全都不见了。眼前是一条又宽又直的大街，街上人来人往。男男女女都穿着长袍，戴着奇怪的帽子，远处还能听见骆驼脖子上铃铛的声音。
空气里弥漫着烧饼和葱花的香味。
小砚揉了揉眼睛，发现自己身上那件印着卡通图案的 T 恤不知道什么时候变成了一件蓝色的短褐，腰里还系着一条麻绳。他低头看了一眼脚上，原本的耐克鞋也变成了一双黑色的布靴。
"我……我这是到了哪里？"他小声嘟囔。
一个挑着扁担的伯伯从他身边走过，扁担两头挂着两筐热气腾腾的烧饼，听见他的声音，回头笑了笑："大都城啊，小娃娃。这里是顺承门大街。"
大都城。
这三个字像三颗小石子，啪地落进小砚的脑子里，激起了浪花。他在历史课上学过——大都城，那是七百多年前元朝的首都，也就是今天的北京。他刚才还在自然博物馆的展厅里打盹儿，怎么一睁眼就回到七百年前的北京了？
大都城里的早晨
小砚站在街边发了好一会儿呆。
街上比现代的北京热闹得多。卖烧饼的伯伯走了过去，紧接着是一队骑着高头大马的蒙古骑兵，再后面是一群挑着瓷碗的南方商贩，再后面是一位穿着道袍、手里拿着拂尘的道士。一个梳着双丫髻的小姑娘跟着她娘走过，怀里抱着一只小小的青花瓷猫。街两边的店铺一间挨着一间，有卖丝绸的，有卖瓷器的，有卖铁锅的，有卖书的。
小砚抬头看了看天上的太阳。太阳挂在正南方，按照方位来推算，这时候应该是中午十二点左右。他低头看着自己脚上那双沾了灰的布靴，又看了看身边来来往往的行人，慢慢意识到：这一切都不是做梦。空气里烧饼的味道太真实了，驼铃的声音也太真实了，连阳光照在皮肤上那种热乎乎的感觉，也太真实了。
"我真的是穿越了。"他在心里对自己说。
最让小砚吃惊的，是一家店门口挂着的招牌。
招牌上写着三个大字——"算学书院"。招牌下面是两行小字——"教习方程"、"日日新"。小砚心里咯噔一下。方程。这两个字，他在数学课本上见过无数次。什么一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程……可他从来没想过，七百年前的中国人已经在教方程了，而且开了一家专门的店。
店铺的门开着，门口站着一个十一二岁的小男孩，头上戴着布帽，肩上搭着一块白布，手里捧着一卷竹简，正低头专心致志地看着。
小砚凑过去，踮起脚尖偷看小男孩手里的竹简。
竹简上刻着一行行奇怪的小符号，有的像竖线，有的像横线，有的像横竖混在一起。这些小符号整整齐齐地排成一列一列，像小人排队一样。
小男孩抬头看见小砚，眼睛弯成月牙："你是来学方程的？"
"我……我看看。"小砚说。
"那你进来吧。"小男孩把手里的竹简放下，"我师傅说，今天书院开门，谁都可以来听。"
小砚跟着小男孩走进了算学书院。
算筹，会算数的小竹棍
书院里面比外面安静得多。一条长长的木桌摆在正中间，桌上铺着一块黑色的毡布，毡布上散落着几百根细细的小竹棍。这些竹棍跟展厅里看到的一模一样。
小男孩随手拿起一根，举到小砚面前："这就是算筹。每一根都一样长，一样粗。可是一根根摆在一起，就能摆出任何一个数。"
他一边说，一边在毡布上摆了起来。
"你看，一根竖着摆，是一。"他把一根竹棍竖着插在毡布上。
"两根竖着摆，是二。"他又插了一根。
"三根竖着摆，是三。"
"四根竖着摆，是四。"
"五根竖着摆，是五。"
小砚看着毡布上那五根竖着的竹棍，眼睛瞪得滚圆："那六呢？六根竖着？"
"不行。"小男孩摇摇头，"六就不是用六根了。你看——"
他抽出一根竹棍横着放在五根竖着的上面。
"横的代表五。所以一根横的代表五，下面再加一根竖着代表一，加起来就是六。再加一根竖着是七，再加一根是八，再加一根是九。"
小砚一看，毡布上确实摆出了一个"六"——上面一根横的，下面一根竖的。"七"是上面一根横的，下面两根竖的。"九"是上面一根横的，下面四根竖的。
"那十呢？"小砚接着问。
小男孩笑了一下，从旁边拿出一根新的竹棍，横着摆在毡布的另一边，离刚才那个"九"远一点的位置。
"十就是另一个位置了。你看，刚才那个'六'到'九'，竹棍都摆在毡布最右边这块小方格里，对吧？这个小方格叫'个位'。'十'呢，要摆在'十位'这个格子里，也就是往左挪一格。一根横着摆在十位上，就是十。"
他又拿起一根竹棍摆在更左边的格子里："这个叫'百位'。所以如果我现在要摆'三百二十五'——"
他一边说一边摆。百位上一根横的，三百；十位上两根竖的，二十；个位上一根横的下面一根竖的，五。三下两下，"三百二十五"就清清楚楚地出现在了毡布上。
小砚看着这一排整整齐齐的小竹棍，突然觉得它们变得不一般了。每一根都像是一个会说话的小士兵，听从指挥官的命令，乖乖地站到自己的位置上。
"这种方法，"小男孩说，"我们叫'算筹记数法'。我师傅说，从汉朝到今天，算筹已经帮中国人算了两千多年的题。算加减乘除，算分数，算方程，全靠它们。"
"那有算盘之后呢？"小砚想起自己家里那把老算盘。
"算盘是后来的事。"小男孩说，"可在我们师傅眼里，算筹才是真正的宝贝。算盘打的是珠子，算筹摆的是竹棍；算盘只能记下六七位，算筹可以记下任意多位。我们师傅常说，算筹是方程的骨头，没有骨头，方程站不起来。"
小砚在脑子里想象着——如果用算筹摆一个 365 × 24，需要摆多少根竹棍？个位上要摆两个数字，十位上要摆两个数字，百位上要摆两个数字……算下来至少要摆六十多根竹棍才能算清楚一道乘法题。他忍不住在心里感叹：古代的数学家，真是又聪明又有耐心。
算学书院的第一道方程题
小男孩一边说一边在毡布上摆了一个新的算式。
"这是我们今天要学的第一道方程题。"他说。
毡布上摆着两组竹棍。左边一组，左半边写着两根竖着的（代表二），代表"二个未知数"；左半边右边摆着一根横着（代表十），代表"二十"。整组加起来，写成一个方程的左边。右边一组，是一根竖着的（代表一）和一根横着下面一根竖着的（代表五），合起来是三十五。
$$\begin{aligned} 2x + 20 = 35 \end{aligned}$$
小砚盯着这个算式看了好一会儿："这是什么？"
"方程啊。"小男孩说，"你看，左边是 $2x + 20$，意思是两个未知数再加二十；右边是三十五。两边相等，就成了一个方程。"
他用手指在毡布上比划："你要做的，是把未知数 $x$ 的值找出来。"
小砚想了想："那先把二十移到右边去，变成 $2x = 35 - 20$，也就是 $2x = 15$。"
"对。"小男孩点头。
"再两边同时除以二，$x = 7.5$。"小砚脱口而出。
小男孩眨了眨眼睛："你算得真快。可我们师傅说，算筹解方程，不能跳过中间的步骤。每一步都要把竹棍摆出来，看着竹棍想。这样才不容易错。"
小砚有点不好意思地挠了挠头。在他的数学课上，方程就是黑板上的粉笔字，写出来，划两笔，就算完了。他从来没想过，原来用算筹解方程，要一步一步把每一个数字都摆得清清楚楚。
"那用算筹怎么解呢？"他问。
小男孩重新拿了几根竹棍，开始在毡布上摆了起来。
"第一步，把方程的每一项都用竹棍摆出来。"
$$\underbrace{\begin{array}{c} \text{二} \\ \text{十} \end{array}}_{2x+20} \quad = \quad \underbrace{\begin{array}{c} \text{三} \\ \text{五} \end{array}}_{35}$$
"第二步，把左边的'二十'这一项移到右边去。算筹移项有个规矩——从左边移到右边，符号要变。原来是加，移过去就变成减。所以右边的三十五要减去二十。"
他一边说一边在毡布上重新摆，把左边的"二十"两根竹棍抽出来，放到右边，跟三十五合在一起。
$$\begin{array}{c} \text{三} \\ \text{五} \end{array} \longrightarrow \begin{array}{c} \text{一} \\ \text{五} \end{array}$$
"你看，三十五减去二十，还剩十五。"
小砚看着毡布上那组从三十五变成十五的竹棍，心里突然有一种说不出的亲切感。这些竹棍原来是会"动"的，它们可以拆开，可以合并，可以从这一边跑到那一边去。算筹不是死的，是活的；算筹不是数字，是动作。
"第三步，再把右边的十五平均分成两份。十五拆成两份，每份多少？"
小砚想了想："七点五。可七点五怎么用算筹摆？算筹能摆小数吗？"
小男孩笑了："算筹当然能摆小数。你看——"
他从毡布上拿起一根细细的竹棍，跟其他竹棍都不一样，这根竹棍的中间刻了一道小小的横线。
"这根叫'小数标'。把小数标放在小数点下面那一格，前面是整数部分，后面是小数部分。比如七点五，就是'七'摆在整数格，'五'摆在小数标下面的格子。"
他一边说一边摆：整数格里七（七就是上面一根横的，下面两根竖的）；小数标下面那格里五（五就是上面一根横的，下面一根竖的）。
"这就是七点五。"小男孩说。
"原来这就是 $x$ 的答案。"小砚看着毡布上那一组小小的竹棍，有一种恍然大悟的感觉。
"方程的答案，用算筹摆出来是这个样子。"小男孩说，"方程其实没有那么神秘。它就是把未知数和已知数分开两边摆，然后按规矩一步一步把未知数找出来。算筹只是把这个过程变成了看得见、摸得着的小动作。"
小砚重重地点了点头。
他话音刚落，里屋的布帘子被人撩开了。
一个头发花白、胡子长长的老者慢慢走了出来。他穿着一身灰色的棉布长袍，腰里挂着一块温润的玉佩，眼睛里有一种安静的光。
"师傅！"小男孩立刻站起来行礼。
小砚也跟着站了起来。
老者看了看小砚，又看了看毡布上摆着的"七点五"，轻轻地点了点头。
"这位小娃娃，是来学方程的？"
汉卿先生朱世杰
老者就是朱世杰。
他号汉卿，所以书院里的孩子们都叫他汉卿先生。他在小砚对面坐下来，把毡布上的竹棍推到一边，慢慢开口：
"方程这两个字，你听说过吗？"
"听说过。"小砚老实地回答，"数学课本上有一元一次方程、二元一次方程、一元二次方程……"
"哦。"朱世杰笑了一下，"那一元一次方程是什么意思？"
小砚想了想："就是只有一个未知数，最高次数是一次的方程。比如 $3x = 15$。"
朱世杰点了点头，拿起三根竹棍竖着摆在毡布上，旁边又摆了"十五"——一根横的摆在十位上代表十，下面一根横的一根竖的代表五。
$$3x = 15$$
"这种方程，把未知数 $x$ 和已知数分开两边摆，列成这个样子，本身就叫做'方程'。'方'是方的意思，表示左右两边各自整齐；'程'是程度的意思，表示两边相等。所以方程，就是'两边各自整齐、程度相等'的一种式子。"
小砚瞪大了眼睛。他从来没想过"方程"这两个字居然还有这样的来历。在他的印象里，"方程"就是课本上的一个黑体字，是考试的时候必须算对的题目。他从来不知道，"方程"这两个字本身，就藏着一个完整的故事。
"那这个方程怎么解呢？"他问。
朱世杰把竹棍在毡布上重新摆了摆：
"你刚才说，$3x = 15$。意思是三个 $x$ 加起来等于十五。那你想，一个 $x$ 是多少？"
"十五除以三，等于五。"小砚脱口而出。
"对。"朱世杰笑了，"你看，这种最简单的方程，用算筹来解，就是把右边的十五拆成三份，每份多少。算筹帮你看清楚，十五是十加五，三份就是三个五。"
他一边说，一边在毡布上把十五分成了三组：
$$\begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array} \quad \begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array} \quad \begin{array}{c} 1 \\ 5 \end{array}$$
每一份都是一根横的（代表十）上面一根横的一根竖的（代表五），加在一起就是十五。
"五。"朱世杰说，"这就是 $x$ 的答案。"
小砚看着毡布上这三组一模一样的竹棍，心里有一种说不出的感觉。算筹其实没有变，还是那些细得像牙签的小竹棍。可现在，在他眼里，这些竹棍像是活了起来，会说话，会排队，会算题。
"小娃娃，"朱世杰看着他，"方程其实没那么难。难的是后面那些——"
他停顿了一下，眼神变得深远：
"两个未知数的方程，三个未知数的方程，四个未知数的方程。最高次数是两次的方程，三次的方程，四次的方程，五次的方程。方程里既有加又有减、既有乘又有除、还有开方和平方——这些方程加起来，才真正是方程世界里的大山。"
小砚听得有点糊涂，但又很兴奋："您都解得出来吗？"
朱世杰没有直接回答，只是慢慢地笑了笑。
"我解了一辈子。"他说，"我写的那本书，就是为了把这些大山一条一条画下来，让以后的孩子们都能找得到路。"
小砚好奇地看着他："先生是哪里人？"
"燕山。"朱世杰说，"就是大都城北边的那座山。我年轻的时候在燕山一带游历，一边教孩子学数学，一边研究天元术。后来到了大都城，开了这间算学书院。"
他摸了摸胡子："天元术这个名字，是我起的。'天'是天地的天，'元'是开始的元。古人说'天圆地方'，'天元'就是方程里未知数最干净、最本来的样子。"
他停顿了一下："你刚才说的'一元一次方程'，其实就是'天元一次方程'。一元和天元，是一个意思。"
小砚这才恍然大悟。原来他在现代数学课本上学的"一元二次方程"，在七百多年前叫"天元二次方程"。课本上的名字，是从天元术简化来的。
"那您那本书，叫什么名字？"小砚问。
朱世杰站起来，慢慢走到书桌前，从一个檀木匣子里取出一卷东西。
"《四元玉鉴》。"他说，"四卷书，二百八十八问。"
一卷写着"天元"的绢帛
那是一卷淡黄色的绢帛，卷得很紧，外面用一根红色的丝线系着。丝线的两端各打了一个小小的结，看起来像两只系在蝴蝶身上的触须。
朱世杰把绢帛轻轻地放在小砚面前，慢慢解开红色的丝线。
绢帛展开。
上面没有字，没有画，只有一行行细细的、用墨笔描出来的小方格。方格里写着一个又一个的符号，有的像"太"，有的像"元"，有的像"人"，有的像数字 1 到 9。
小砚看得一头雾水："这是什么？"
"这就是方程。"朱世杰说。
他指了指绢帛最上面的一个符号——一个写在方格里的、看起来像汉字"元"的字。
"这个字，叫'天元'。"
"天元？"小砚重复了一遍。
"对。"朱世杰点头，"天，就是天的天。元，就是开始的元。古人说'天圆地方'，'天元'就是方程里未知数最干净、最本来的样子。"
他一边说，一边用手指在绢帛上慢慢滑过。
"你看，从'天元'这里开始，往下数，最上面是'天元的一次'——也就是一个 $x$。往下一格，是'天元的一次乘一次'——也就是 $x$ 乘 $x$，$x^2$。再继续往下，$x^3$，$x^4$，一直到任意多次。每往下一格，幂次就高一次。"
他又在旁边点了点："这些竖着的方格，是'常数项'，也就是不含 $x$ 的那些普通数字。把这两列合在一起，一个方程就清清楚楚地写在了这卷绢帛上。"
小砚看着那卷绢帛上整整齐齐的符号阵列，感觉自己正在看一座非常神秘的房子。"天元"就是房子的正门，从正门进去，左边是未知数的世界，右边是常数的世界，两个世界相遇，就构成了一个完整的方程。
"这就是您那本书里的方法？"他问。
"对。"朱世杰说，"这种方法就叫'天元术'。我在书里把它整理出来，写成了四卷书，一共二百八十八问，每一问答一个方程的问题。"
他停顿了一下，眼神里有一种很深的认真：
"这本书，我叫它《四元玉鉴》。'四元'，是因为我不光让一个'天元'出现在方程里，我让四个'元'都出现了——天元、地元、人元、物元。四个未知数一起出场，比一个未知数难得多，可也比一个未知数能解决更多的问题。"
小砚听得入了迷。
"玉鉴"两个字他倒是听出来了——"玉"是玉石，"鉴"是镜子。合起来就是"玉石做的镜子"。在古代，玉镜是给皇帝照容颜用的，把一本数学书叫作"玉镜"，可见朱世杰对自己的书有多骄傲。
"那……我能跟着您学这本书吗？"小砚小声问。
朱世杰看了他一眼，慢慢笑了。
他没有直接答应，也没有拒绝。他只是把绢帛重新卷起来，重新用红色的丝线系好，然后放到小砚的手心里。
"这卷绢帛，"他说，"送给你。"
"送给我？"小砚愣了一下。
"对。"朱世杰点头，"不过，今晚之前你得还给我。今晚子时，月亮最圆的时候，你会从一个梦里醒来。醒来之后，你会发现手里还握着这卷绢帛——绢帛上的字，会在你梦里教了你所有它想教给你的东西。"
小砚更糊涂了："那我现在怎么办？"
朱世杰指了指书院门口："现在，你先回顺承门大街。街上那个卖烧饼的伯伯会告诉你接下来去哪里。你按他说的走，月亮升到正南方的时候，闭上眼睛，心里默念三遍'天元'，你就会醒过来。"
小砚捧着绢帛，刚要转身，又回过头来："先生，我叫小砚。您叫什么？"
朱世杰笑了："朱世杰，号汉卿。你叫我汉卿先生就好。"
他又低声补了一句：
"记住，方程的世界，没有尽头。从最简单的一元一次方程，到四元的高次方程，每一步都是一座山。可每一座山的山顶，都能看到更远的天空。"
整个探险的地图
小砚捧着绢帛走出算学书院的时候，街上已经升起了淡淡的暮色。远处传来一阵阵驼铃声，还有孩子们追逐打闹的笑声。
他低头看了看自己手里那卷淡黄色的绢帛，又抬头看了看天边那弯刚刚升起的月亮。
他忽然意识到，今天他走进了一个从来没有想过的世界——七百多年前的大都城，七百多年前的算学书院，七百多年前的算筹和方程。
他在心里默念：
"天元。天元。天元。"
绢帛在他怀里微微发热。
就在这一瞬间，小砚的脑子里突然清晰地浮出了一个画面——那是一张地图，从"今天在博物馆打盹儿的小砚"开始，到"回到现代课堂里的小砚"结束，中间经过了七站：
```mermaid flowchart TD A[博物馆打盹的小砚] --> B[穿越到大都城] B --> C[走进算学书院] C --> D[学习算筹记数] D --> E[遇见朱世杰] E --> F[得到天元绢帛] F --> G[回到现代的课堂] ```
从博物馆那一觉，到大都城的顺承门大街，再到算学书院的毡布前，再到汉卿先生朱世杰对面，最后到手里那卷写着"天元"的淡黄色绢帛。这一路，就是接下来这本《方程少年朱世杰》要带小砚走完的整段路。
本章小结
七百多年前的中国，数学并不是藏在书斋里的一种神秘活动