第一章 数学的浪漫起源：从丢番图墓志铭到欧拉的“瞎眼”天才

如果你曾路过古希腊的某块残破墓碑，上面刻着一串让人摸不着头脑的数字：“过路人，这里埋着丢番图的骨灰，他的生命里，童年的六分之一是快乐的，又过了一生的十二分之一，他长了胡须；再过一生的七分之一，他结了婚；婚后五年，他有了第一个儿子；可是儿子只活了他生命的一半；儿子死后，他在悲痛中度过了四年，也离开了人世。”这不是普通的墓志铭，这是丢番图给自己出的最后一道代数题——如果解不出这道题，你甚至不知道这位古希腊大数学家活了多少岁。这道题的解法其实并不复杂：设丢番图的生命总长度为$x$，把所有条件列成方程就是$\frac{x}{6}+\frac{x}{12}+\frac{x}{7}+5+\frac{x}{2}+4=x$，两边通分后解得$x=84$。算出来的结果刚好和墓志铭的描述严丝合缝：14岁结束童年，12年后26岁长胡须，再过12年38岁结婚，婚后5年43岁得子，儿子活了42岁，丢番图在儿子去世4年后离世，终年84岁。<footnote>这道方程是丢番图《算术》中众多文字代数题的缩影，他当时甚至没有用符号来表示未知数，所有条件都是用文字描述的，这也是为什么后世称他为“代数学之父”。</footnote>这道刻在墓碑上的方程，其实是古代数学最真实的缩影：从诞生之日起，数学就从未脱离过“解决实际问题”的初心。

在人类文明的幼年时期，数学从来不是什么高大上的抽象游戏，而是刻在泥板、草片上的生存工具。公元前1800年的古巴比伦人，会在泥板上刻满勾股数，用来计算田地的边长、建造神庙的坡度；公元前1650年的古埃及人，会把数学题刻在草片文书上，用来计算粮食的分配、金字塔的建材用量；公元前100年的中国古人，会在《九章算术》里写下“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六

如果你曾路过古希腊的某块残破墓碑，上面刻着一串让人摸不着头脑的数字：“过路人，这里埋着丢番图的骨灰，他的生命里，童年的六分之一是快乐的，又过了一生的十二分之一，他长了胡须；再过一生的七分之一，他结了婚；婚后五年，他有了第一个儿子；可是儿子只活了他生命的一半；儿子死后，他在悲痛中度过了四年，也离开了人世。”这不是普通的墓志铭，这是丢番图给自己出的最后一道代数题——如果解不出这道题，你甚至不知道这位古希腊大数学家活了多少岁。这道题的解法其实并不复杂：设丢番图的生命总长度为$x$，把所有条件列成方程就是$\frac{x}{6}+\frac{x}{12}+\frac{x}{7}+5+\frac{x}{2}+4=x$，两边通分后解得$x=84$。算出来的结果刚好和墓志铭的描述严丝合缝：14岁结束童年，12年后26岁长胡须，再过12年38岁结婚，婚后5年43岁得子，儿子活了42岁，丢番图在儿子去世4年后离世，终年84岁。<footnote>这道方程是丢番图《算术》中众多文字代数题的缩影，他当时甚至没有用符号来表示未知数，所有条件都是用文字描述的，这也是为什么后世称他为“代数学之父”。</footnote>这道刻在墓碑上的方程，其实是古代数学最真实的缩影：从诞生之日起，数学就从未脱离过“解决实际问题”的初心。

人出六，不足十四。”这是《九章算术》里“方程”章的经典问题，用算筹摆出系数，就能算出人数和鸡价，本质就是解二元一次方程组。公元前1800年的古巴比伦人会在泥板上刻满勾股数，用来计算田地的边长和神庙的坡度；公元前1650年的古埃及人会把数学题刻在草片文书上，用来计算粮食分配和金字塔的建材用量；公元前100年的中国古人会在《周髀算经》里用勾股定理测算日月的运行轨迹。在人类文明的幼年时期，数学从来不是什么高高在上的抽象游戏，而是刻在泥板、草片、竹简上的生存工具——它用来算账、量地、造房子、定历法，所有的定理和公式，都是为了解决具体的问题而生的。

这种实用主义的传统延续了上千年，直到16世纪法国数学家韦达引入符号代数，数学家们才开始用统一的符号来表示未知数和运算，数学终于有了自己的“通用语言”。但真正把整个数学的各个分支打通、统一成一套完整体系的人，是18世纪的瑞士数学家莱昂哈德·欧拉——他被称为“数学史上最多产的数学家”，也是第一个让数学从“解决具体问题的工具”变成“探索宇宙规律的通用语言”的人。

一、巴塞尔小镇走出的数学怪物：欧拉和伯努利家族的“爱恨情仇”

1707年，欧拉出生于瑞士巴塞尔的一个牧师家庭，他爹保罗·欧拉本来想让他继承自己的衣钵，当个牧师，安安稳稳过一辈子，所以从小就给欧拉请最好的家庭教师，教他神学、拉丁语、希腊语，唯独没怎么教他数学。结果欧拉自己偷偷迷上了数学，他每天做完神学作业，就抱着他爹的数学书啃，不到10岁就把《几何原本》的前几卷读完了，还能自己推导出里面的定理。

13岁那年，欧拉考进了巴塞尔大学，成了当时全校年龄最小的学生。当时巴塞尔大学的数学圈基本被伯努利家族垄断：老爹约翰·伯努利是莱布尼茨的忠实粉丝，把微积分从德国引入了瑞士，是瑞士数学界的“带头大哥”；大儿子雅各布是概率论的奠基人之一，提出了“大数定律”；二儿子约翰更是当时欧洲数学界的“扛把子”，25岁就当上了巴塞尔大学的数学教授，整个欧洲的数学爱好者都以能听他的课为荣。

欧拉刚进大学的时候，就偷偷去听约翰·